神大理系4番解答
(1)
1回目と2回目あわせて $ k=1,\ 2,\ 3,\ 4 $ がそれぞれ $ a $ 回， $ b $ 回， $ c $ 回， $ d $ 回出るとする．
$ a+b+c+d=2 $ である．
このとき点P $ _2 $ の座標は
\[
(a+b-c-d,\ a-b+c-d,\ a-b-c+d)
\]
である．これが $ x $ 軸上にあるのは
\[
a-b+c-d=0,\ \quad a-b-c+d=0
\]
これから $ a=b $ ， $ c=d $ となり， $ a+b+c+d=2 $ より，
$ a=b=1,\ c=d=0 $ または
$ a=b=0,\ c=d=1 $ である．
よって点$\mathrm{P}_2 $ が $ x $ 軸上にある確率は
\[
{}_2 \mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{4} \right)^2+{}_2 \mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{4} \right)^2=\dfrac{1}{4}
\]
別解
図のように，4点
$ (1,\ 1,\ 1),\ (1,\ -1,\ -1),\ (-1,\ 1,\ -1),\ (-1,\ -1,\ 1) $ は，
たがいの距離がいずれも $ 2\sqrt{2} $ で等しく，原点を中心とする正四面体の4頂点をなす．
従って，これら4点は原点の周りに対称である．
1回目は $ 1 $ が出たとする．この場合，
\[
\begin{array}{l}
\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}=(2,\ 2,\ 2),\
\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=(2,\ 0,\ 0),\ \\
\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3}=(0,\ 2,\ 0),\
\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_4}=(0,\ 0,\ 2)
\end{array}
\]
なので，2回目に2が出るときのみ，点$\mathrm{P}_2 $ が $ x $ 軸上にある．
対称性から，点$\mathrm{P}_2 $ が $ x $ 軸上にある確率は
\[
4\cdot\left(\dfrac{1}{4} \right)^2=\dfrac{1}{4}
\]
(2)
同様に1回目は 1 とする．
$ \overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_2} $ は，(1)別解の4通りである．
3回目と4回目あわせて $ k=1,\ 2,\ 3,\ 4 $ がそれぞれ $ p $ 回， $ q $ 回， $ r $ 回， $ s $ 回出るとする．
$ p+q+r+s=2 $ である．
\[
\overrightarrow{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_4}=(p+q-r-s,\ p-q+r-s,\ p-q-r+s)
\]
なので，その内積は
$ \overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}_2}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_4} $
はそれぞれ，順に，
\[
2(3p-q-r-s),\ 2(p+q-r-s),\ 2(p-q+r-s),\ 2(p-q-r+s)
\]
$ p+q+r+s=2 $ のもとで，これらが0になり得るのは，第2，第3，第4の場合で，
第2の場合，
\[
p+q=r+s=1
\]
が条件である．これは $ p $ と $ q $ が0と1， $ r $ と $ s $ が0と1なので，4通りある．
3回目と4回目のいずれで出るかの決め方が2通り．
第3，第4の場合も同様．よって求める確率は
\[
4\cdot3\cdot2\cdot4\cdot\left(\dfrac{1}{4} \right)^4=\dfrac{3}{8}
\]
である．
(3)
4点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$ が同一平面上にあることは，
$ \overrightarrow{v_k} $ から選ばれた3ベクトルが同一平面上にあることと同値である．
対称性から1回目と2回目が1と1の場合，1と2の場合で考える．
それぞれ4倍と $ {}_4 \mathrm{P}_2=12 $ 倍すればよい．
1回目と2回目が1と1の場合，
3回目がいずれであっても，4点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$ が同一平面上にある．よって4通りある．
1回目と2回目が1と2の場合，
$ \overrightarrow{v_1} $ と $ \overrightarrow{v_2} $ で定まる平面上に，
$ \overrightarrow{v_k} $ が来るのは， $ k=1,\ 2 $ のときにかぎる．
よって2通りある．
従って4点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$ が同一平面上にある確率は
\[
\left(4\cdot 4+12\cdot2 \right)\left(\dfrac{1}{4} \right)^3=\dfrac{5}{8}
\]
である．
別解
$ \overrightarrow{v_k} $ のうちいずれの3ベクトルも1次独立で同一平面上にない．
よって，
4点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$ が同一平面上にある事象の余事象は，
$ \overrightarrow{v_k} $ から異なる3つのベクトルを選ぶ事象である．
従って4点 $\mathrm{P}_0 $ ，$\mathrm{P}_1 $ ，$\mathrm{P}_2 $ ，$\mathrm{P} _3 $ が同一平面上にある確率は
\[
1-{}_4 \mathrm{P}_3\left(\dfrac{1}{4} \right)^3=\dfrac{5}{8}
\]
である．
(4) $\mathrm{P}_n=\mathrm{O} $ となるのは，選ばれたベクトルの和が0ベクトルということである． いずれの3ベクトルも1次独立なので $ n\le 3 $ ではありえない． $ n=4 $ のとき． $ \overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_4}=\overrightarrow{O} $ なので，これら4つが選ばれる場合である． $ n=5,\ 6 $ のとき． いずれの3ベクトルも1次独立なので，4ベクトルがすべて選ばれなければならないが， $ \overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}+\overrightarrow{v_4}=\overrightarrow{O} $ なので，さらに残るベクトルの和が0でなければならな． それはありえない． よって，$\mathrm{P}_n=\mathrm{O} $ となる確率は \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0&(n\ne 4)\\ \dfrac{4!}{4^4}=\dfrac{3}{32}&(n=4) \end{array} \right. \] である．