神大理系5番解答
(1) 時刻 $ t $ において \[ \mathrm{P}(ct,\ 0) \] であり， \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} =\left(r\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\omega t\right),\ r\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\omega t\right) \right) =\left(r\sin \omega t,\ -r\cos \omega t \right) \] である．従って \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(x(t),\ y(t))=\left(ct+r\sin \omega t,\ -r\cos \omega t \right) \] である．
(2)
\[
x(t)=ct+r\sin \omega t,\ y(t)=-r\cos \omega t
\]
において
\[
x'(t)=c+r\omega \cos \omega t,\ y'(t)=r\omega \sin \omega t
\]
である．
ここで $ \dfrac{c}{r\omega}< 1$ と仮定する．
このとき， $ c+r\omega \cos \omega t=0 $ ，つまり，
$ \cos \omega t=-\dfrac{c}{r\omega} $ となる $ \omega t $ の値は2つある．
それを $ \alpha $ と $ \beta $ とする．
$ \dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi<\beta<2\pi $ である．このとき，
$ 0\leqq \omega t\leqq 2\pi $ の増減は次のようになる．
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\omega t&0&\cdots&\alpha&\cdots&\pi&\cdots&\beta&\cdots&2\pi\\
\hline
x'(t)&c+r\omega&+&0&-&-&-&0&+&c+r\omega\\
\hline
y'(t)&0&+&+&+&0&-&-&-&0\\
\hline
\end{array}
\]
したがって，そのグラフは右上図のようになり，動点Qの描く曲線は交差する．
つまり，交点Pを与える $ t $ の値が区間 $ (0,\ \pi) $ と区間 $ (\pi,\ 2\pi) $ のそれぞれにある．
$ \dfrac{c}{r\omega}\geqq 1 $ のとき．
$ x'(t)\geqq 0 $ となり， $ x(t_1)=x(t_2) $ となる異なる $ t $ の値は存在しない．
求める条件は， $ \dfrac{c}{r\omega}\geqq 1 $ ，つまり $ \dfrac{r\omega}{c}\leqq 1 $ である．
解説
この曲線は，サイクロイドの1種である．
\[
x(s)=s+r\sin s,\ y(s)=1+r\cos s
\]
とし， $ r=\dfrac{2}{3},\ r=1,\ r=\dfrac{3}{2} $ のときの曲線を描くと右下図になる．
このように $ r\leqq 1 $ のとき交差しない．
本問の場合，
\[
x(t)=\dfrac{c}{\omega}\left(\omega t+\dfrac{r\omega}{c}\sin \omega t\right)
\]
と変形できるので，
同様に， $ \dfrac{r\omega}{c}\leqq 1 $ のとき交差しない．