2017年入試問題研究に戻る神大後期理系3番解答
(1) 等式$\left|\dfrac{1}{z}-\bar{\alpha} \right|=r$より， \[ \left|\dfrac{1}{z}-\bar{\alpha} \right|^2= \left(\dfrac{1}{z}-\bar{\alpha} \right)\left(\dfrac{1}{\bar{z}}-\alpha\right) =\dfrac{1}{z\bar{z}}-\dfrac{\alpha}{z}-\dfrac{\bar{\alpha}}{\bar{z}}+|\alpha|^2=r^2 \] この両辺に$z\bar{z}$を乗じ， \[ 1-\alpha\bar{z}-\bar{\alpha}z+(|\alpha|^2-r^2)z\bar{z}=0 \] よって \[ \left(z-\dfrac{\alpha}{|\alpha|^2-r^2} \right) \left(\bar{z}-\dfrac{\bar{\alpha}}{|\alpha|^2-r^2} \right) =-\dfrac{1}{|\alpha|^2-r^2}+\dfrac{|\alpha|^2}{\left(|\alpha|^2-r^2 \right)^2} =\dfrac{r^2}{\left(|\alpha|^2-r^2 \right)^2} \] つまり \[ \left|z-\dfrac{\alpha}{|\alpha|^2-r^2} \right| =\dfrac{r}{\left||\alpha|^2-r^2 \right|} \] $C$は中心が$\dfrac{\alpha}{|\alpha|^2-r^2}$で， 半径が$\dfrac{r}{\left||\alpha|^2-r^2 \right|}$の円である．
(2) $C$の中心がA，半径が$r$になるので， \[ |\alpha|^2-r^2=1 \] である．
円$S$と円$C$の中心間の距離は$\left|\alpha \right|$ であり，半径の和は$1+r$である． \[ (1+r)^2 >1+r^2=\left|\alpha \right|^2 >1+r^2-2r=(r-1)^2 \] より， \[ 1+r >\left|\alpha \right| >|r-1| \] となり，$C$と$S$に共有点が存在する． さらに， \[ \mathrm{OQ}^2+\mathrm{AQ}^2=1+r^2=|\alpha|^2=\mathrm{OA}^2 \] となるので，$\bigtriangleup \mathrm{OQA}$は直角三角形となり， $\mathrm{OQ}\bot \mathrm{AQ}$が成り立つ．