2017年入試問題研究に戻る

神大後期理系4番

$ n $ を正の整数とする．Aさんは1から $ n $ までの整数が書かれたカードを1枚ずつもち， Bさんは0から $ n $ までの整数が書かれたカードを１枚ずつもっているとする． AさんとBさんが，次の試行を交互にくり返し行う．

・　 相手のカードから1枚のカードをランダムに引く． 引いたカードに書かれた整数と同じ整数のカードが自分のカードの 中にある場合は，そのカードと引いたカードを一組みにして捨てる．
　　そうでない場合は，引いたカードを自分のカードに加える．

試行の回数を， 2人のうちのどちらか一方が試行を行ったときに１回の試行を行ったものとして数える． 試行の総回数が100回になった時点，もしくは， 2人のうちのどちらか一方のもっているカードがなくなった時点で試行を続けることをやめる． $ k $ が $ 1\leqq k \leqq 99 $ をみたす正の整数であるとき，以下の間に答えよ．

(1)　$ n=1 $ とする．Aさんから上の試行を始めるとき， 試行の総回数が $ k $ となる確率 $ p_k $ を求めよ．

(2)　$ n=2 $ とする．Aさんから上の試行を始めるとき， 試行の総回数が $ k $ となる確率 $ q_k $ を求めよ．

(3)　$ n=3 $ とする．Aさんから上の試行を始めるとき， 試行の総回数が $ k $ となる確率 $ r_k $ を求めよ．

解答