2017年入試問題研究に戻る神大後期理系4番解答
(1) $ n=1 $ のとき． $ k\ge 2 $ とする． 試行の総回数が $ k $ となる事象は， $ k-1 $ 回は0を引き， $ k $ 回目に1を引く事象である．よって， \[ p_k=\left(\dfrac{1}{2} \right)^{k-1}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^k} \] これは $ k=1 $ でも成立する．
(2) $ n=2 $ のとき． $ k\ge 3 $ とする． 試行の総回数が $ k $ となる事象は， $ k-2 $ 回は0を引き， $ k-1 $ 回目に1か2を引く， このとき $ k $ 回目は2か1を引いて試行が終わる． \[ q_k=\left(\dfrac{1}{3} \right)^{k-2}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{2}{3^{k-1}} \] これは $ k=2 $ でもあてはまるが， 1回で終わることはない． \[ q_k= \left\{ \begin{array}{ll} 0&(k=1)\\ \dfrac{2}{3^{k-1}}&(k \geqq 2) \end{array} \right. \]
(3) $ n=3 $ のとき． $ k\ge 3 $ のとき 最初に0を引くか，0でないものを引くかで場合に分ける． 0でないものを引くとそこで1枚減り， 次も0でないものを引くのでもう1枚減る． つまり2回の試行をおこなって，0ともう1枚が残る． よって， \[ r_k=\dfrac{1}{4}r_{k-1}+\dfrac{3}{4}p_{k-2} \] となる．これから \[ 4^k r_k=4^{k-1}r_{k-1}+3\cdot4^{k-1}\dfrac{1}{2^{k-2}} \] なので， \[ 4^k r_k-4^{k-1}r_{k-1}=12\cdot2^{k-2} \] よって， \[ 4^k r_k=4^3 r_3+\sum_{l=3}^{k-1}12\cdot2^{l-1} \] \[ r_3=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \] なので， \[ 4^k r_k=24+12\cdot 4\cdot\dfrac{2^{k-3}-1}{2-1} =3(2^{k+1}-8) \] これから， \[ r_k=\dfrac{3(2^{k+1}-8)}{4^k}=\dfrac{3}{2^{k-1}}\left(1-\dfrac{1}{2^{k-2}} \right) \] である．
※ $ n $ のとき，試行の総回数が $ k $ となる確率を $ P(n,\ k) $ とおくと， $ n\ge 3 $ ， $ k\ge 3 $ のとき， \[ P(n,\ k)=\dfrac{1}{n+1}P(n,\ k-1)+\dfrac{n}{n+1}P(n-2,\ k-2) \] が成り立つ．
本問では「100回で終わる」となっているが， Aが勝つかBが勝つかとすると「ばば抜き」になる． 「ばば抜き」は一方がなくなるまでやる．つまり， \[ \lim_{k \to \infty}P(n,\ k) \] が， $ n $ 枚のとき，ばばを持っていない方が勝つ確率である．
※関連入試問題として，「1995年京大理系5番」がある．
その解のように，極限をとらずにこの確率を求めることができる．