2017年入試問題研究に戻る京大特色2番
$n$を自然数とする．実数$a_n$を \[ a_n=\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \] で定める．
以下の設問に答えよ．(1) $a_1$と$a_2$を求めよ．
(2) すべての自然数$n$に対し，$a_n$は正の有理数であることを示せ． さらに，$a_n$を互いに素な自然数$b_n$と$c_n$を用いて$a_n=\dfrac{c_n}{b_n}$と表すとき， $b_n$は奇数であることを示せ．