2017年入試問題研究に戻る

京大特色2番解答

(1) \[ \left(\sqrt{x^2+1} \right)'= \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \] なので， \[ a_1= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx= \biggl[\sqrt{x^2+1}\biggr]_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}=3-2=1 \] である．同様に \begin{eqnarray*} a_{n+1}&=& \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^{2n+1}}{\sqrt{x^2+1}}\,dx= \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \left(\sqrt{x^2+1} \right)'x^{2n}\,dx\\ &=&\biggl[\sqrt{x^2+1} x^{2n}\biggr]_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} -\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{x^2+1}(2n)x^{2n-1}\,dx\\ &=&3\cdot8^n-2\cdot3^n-2n\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}x^{2n-1}\,dx\\ &=&3\cdot8^n-2\cdot3^n-2n(a_{n+1}+a_n) \end{eqnarray*} よって漸化式 \[ (2n+1)a_{n+1}=3\cdot8^n-2\cdot3^n-2n a_n \quad \cdots(1) \] が成り立つ．これから \[ 3a_2=3\cdot8-2\cdot3-2a_1 \] となり$a_2=\dfrac{16}{3}$である．

(2)　 区間$[\sqrt{3},\ 2\sqrt{2}]$で $\dfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}>0$なので，$a_n>0$である．
$a_n$が有理数とすれば，漸化式$(1)$から$a_{n+1}$も有理数である． $a_1=1$なので，数学的帰納法からすべての$n$に対して$a_n$は有理数である．
あわせて，すべての自然数$n$に対し，$a_n$は正の有理数であることが示された．
次に$b_1=1$である．$b_n$が奇数であるとする． このとき， \[ a_{n+1}=\dfrac{(3\cdot8^n-2\cdot3^n)b_n-2n c_n}{(2n+1)b_n} \] となり，右辺の分子と分母をその最大公約数で約しても，やはり分母は奇数のままである． よって$b_{n+1}$も奇数となり， 数学的帰納法からすべての$n$に対して$b_n$は奇数である．
問題