2017年入試問題研究に戻る九大理系3番解答
(1) $a_n=1+4(n-1)=4n-3=4(n+1)-7$である． よって \[ a_n\equiv 4(n+1)\quad (\bmod \ 7) \] となり，4と7は互いに素なので， $a_n\equiv 0\quad (\bmod \ 7)$であるのは $n+1\equiv 0\quad (\bmod \ 7)$となることと同値である． $1\leqq n\leqq 600$の範囲では \[ n+1=7,\ 14,\ \cdots,\ 595=7\cdot 85 \] のときであるから，$\{a_n\}$の初項から第600項のうち，7の倍数である項の個数は 85個である．
(2) 同様に \[ a_n=4n-3=4(n-13)+49\equiv 4(n-13)\quad (\bmod \ 7^2) \] となり，4と$7^2$は互いに素なので， $a_n\equiv 0\quad (\bmod \ 7^2)$であるのは $n-13\equiv 0\quad (\bmod \ 7^2)$となることと同値である． \[ n-13=0,\ 49,\ 2\cdot 49,\ \cdots,\ 539=7^2\cdot 11 \] であるから，$\{a_n\}$の初項から第600項のうち，$7^2$の倍数である項の個数は 12個である．
(3) $a_n$が7の倍数になるのは$n=7k-1\ (k=1,\ 2,\ 3\cdots)$のときであり， $a_n$が$7^2$の倍数になるのは$n=49l+13\ (l=0,\ 1,\ 2,\ 3\cdots)$のときである． 同様にして，$7^3=343$なので， \[ a_n=4n-3=4(n+85)-343\equiv 4(n+85)\quad (\bmod \ 7^3) \] となり，$a_n$が最初に$7^3$の倍数になるのは$n=343-85=258$のときである． $1\leqq n\leqq 258$で$a_n$が7の倍数であるのは，$1\leqq n=7k-1\leqq 258$より，$1\leqq k \leqq 37$の範囲であり，37個ある． $a_n$が$7^2$の倍数であるのは$1\leqq 49l+13\leqq 258$より，$0\leqq l \leqq 5$の範囲であり，6個ある． したがって，$a_1a_2\cdots a_{258}$の因数分解における素因数7の個数は $37+6+1=44$個あり，積$a_1a_2\cdots a_{258}$は$7^{44}$の倍数であるが，$7^{45}$の倍数ではない． 258より大きい$n$で最初に$a_n$が7の倍数になるのは$258+7=265$のときである． このときはじめて積の因数分解における素因数7の個数が45個以上となる． 初項から第$n$項までの積が$7^{45}$の倍数となる最小の自然数は$n=265$である．
※「45個以上」としたのは，$7^2$について確認していないからである． 確認すると，$a_{265}$は$7^2$の倍数ではない．よってここまでの積に 含まれる素因数7の個数は45個である．