2017年入試問題研究に戻る

名北大文系3番解答

(1)　 $ a< b< c $ なので， $ \dfrac{1}{a} >\dfrac{1}{b} >\dfrac{1}{c} $ である． よって \[ \dfrac{3}{a} >\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2} \] が必要である．つまり， $ 6>a\geqq 1 $ より $ a=2,\ 3,\ 4,\ 5 $ ．
$ a=2 $ のとき． $ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0 $ となり，これをみたす自然数 $ b,\ c $ はない．
$ a=3 $ のとき． $ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{6} $ ． これより $ 6b+6c=bc $ ．これを変形して \[ (b-6)(c-6)=36 \] $ -6< b-6< c-6 $ でこれを満たすのは \[ (b-6,\ c-6)=(4,\ 9),\ (3,\ 12),\ (2,\ 18),\ (1,\ 36) \] これから \[ (a,\ b,\ c)=(3,\ 10,\ 15),\ (3,\ 9,\ 28),\ (3,\ 8,\ 24),\ (3,\ 7,\ 42) \] $ a=4 $ のとき． $ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{4} $ ． これより $ 4b+4c=bc $ ．これを変形して \[ (b-4)(c-4)=16 \] 同様に考え， \[ (b-4,\ c-4)=(2,\ 8),\ (1,\ 16) \] これから \[ (a,\ b,\ c)=(4,\ 6,\ 12),\ (4,\ 5,\ 20) \] $ a=5 $ のとき． $ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{10} $ ． これより $ 10b+10c=3bc $ ．つまり $ 10(3b)+10(3c)=(3b)(3c) $ ． これを変形して \[ (3b-10)(3c-10)=100 \] $ a=5< b< c $ なので $ 5<3b-10<3c-10 $ である． 5より大きい100の約数は，10が最小なので， $ b< c $ を満たすものはない．
以上より， \[ (a,\ b,\ c)=(3,\ 10,\ 15),\ (3,\ 9,\ 28),\ (3,\ 8,\ 24),\ (3,\ 7,\ 42),\ (4,\ 6,\ 12),\ (4,\ 5,\ 20) \]

(2)　 \[ 2n=pa=qb=rc \] とおく． $ p >q >r $ のとき $ a $ l $ を任意の自然数とする． \[ p_0l+q_0l+r_0l=n_0l \] であるから， $ p=p_0l $ ， $ q=q_0l $ ， $ r=q_0l $ は $ 2n=2n_0l $ の約数となる．
(1)で求めた6組について，関係式 $ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2} $ に， $ a,\ b,\ c $ の最小公倍数をかけた等式は次のようになる． \[ \begin{array}{l} 10+3+2=15=3\cdot 5\\ 84+28+9=126=2\cdot 3^2\cdot 7\\ 8+3+1=12=2^2\cdot 3\\ 14+6+1=21=3\cdot 7\\ 3+2+1=6=2\cdot 3\\ 5+4+1=10=2\cdot 5 \end{array} \] これらの両辺を $ l $ 倍した組もまた，それに対応する $ n $ に対して条件をみたす組となる． したがって， $ f(n) $ の最大値 $ M $ は6で，6組の解があるのは， $ n $ が上記の右辺の最小公倍数の倍数であるときであり，その最小値は 右辺の最小公倍数である．それは \[ 2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7=1260 \] である．

問題