2017年入試問題研究に戻る昭和大医
次の問いに答えよ．
公平なサイコロを1回振るごとに，偶数の目が出たら1(万円)獲得し，奇数の目が出たら1(万円)損失するという賭けを行う．所持金0でこの賭けを $ n $ 回繰り返した際の損益額の合計を $ Z_n $ (万円)とする．ただし， $ Z_0=0 $ とする．
(1) $ \displaystyle M_n=\max_{0\leqq i \leqq n}Z_i $ とするとき，確率 $ P(M_4=k) $ ， $ k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 $ の値をそれぞれ求めよ．ただし， $ \displaystyle \max_{0\leqq i \leqq n}Z_i $ は $ 0\leqq i\leqq n $ における $ Z_i $ の最大値を表す．
(2) $ T_n=\#\{i|i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ (Z_i=0\cap Z_{i+1}=1)\cup(Z_i=1\cap Z_{i+1}=0)\} $ とするとき，確率 $ P(T_4=k) $ ， $ k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 $ の値をそれぞれ求めよ．ただし， $ \# A $ は集合 $ A $ の要素の個数を表す．
(3) 任意の $ k $ に対して $ P(M_5=k) $ と $ P(T_5=k) $ の間に成り立つ関係を求めよ．