昭和大医解答
(1) 1と $ -1 $ の値をとる確率変数 $ X_i $ は， $ 0\leqq i $ に対し、
\[
P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\dfrac{1}{2}
\]
であるとする．このとき
\[
Z_i=X_1+X_2+\cdots+X_i
\]
である． $ 0\leqq i \leqq n $ に対し， $ (i,\ Z_i) $ を座標平面上にとる．
$ n=4 $ のとき．
試行の総数は $ 2^4 $ である．
左図をもとに，条件を満たす $ (0,\ 0) $ からの経路の総数を数えることにより，次の結果を得る．
\begin{eqnarray*}
M_4=4&:&
\nearrow \nearrow \nearrow \nearrow \\
P(M_4=4)&=&\dfrac{1}{16}\\
M_4=3&:&
\nearrow \nearrow \nearrow \searrow \\
P(M_4=3)&=&\dfrac{1}{16}\\
M_4=2&:&
\nearrow \nearrow \searrow \nearrow ,\
\nearrow \nearrow \searrow \searrow ,\
\nearrow \searrow \nearrow \nearrow ,\
\searrow \nearrow \nearrow \nearrow\\
P(M_4=2)&=&\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\\
M_4=1&:&
\nearrow \searrow \searrow \searrow ,\
\nearrow \searrow \searrow \nearrow ,\
\nearrow \searrow \nearrow \searrow ,\
\searrow \nearrow \nearrow \searrow\\
P(M_4=1)&=&\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
そして，
\[
\sum_{k=0}^4P(M_4=k)=1
\]
より，
\[
P(M_4=0)=1-\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{3}{8}
\]
(2) 同様に考える． \begin{eqnarray*} T_4=4&:& \nearrow \searrow \nearrow \searrow \\ P(T_4=4)&=&\dfrac{1}{16}\\ T_4=3&:& \nearrow \searrow \nearrow \nearrow \\ P(T_4=3)&=&\dfrac{1}{16}\\ T_4=2&:& \nearrow \searrow \searrow \searrow ,\ \nearrow \searrow \searrow \nearrow ,\ \nearrow \nearrow \searrow \searrow ,\ \searrow \nearrow \nearrow \searrow\\ P(T_4=2)&=&\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\\ T_4=1&:& \nearrow \nearrow \nearrow \nearrow ,\ \nearrow \nearrow \nearrow \searrow ,\ \nearrow \nearrow \searrow \nearrow ,\ \searrow \nearrow \nearrow \nearrow\\ P(T_4=1)&=&\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4} \end{eqnarray*} そして， \[ \sum_{k=0}^4P(T_4=k)=1 \] より， \[ P(T_4=0)=1-\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \right)=\dfrac{3}{8} \]
(3) (2)と同様に， $ P(M_5=5)=1 $ ， $ P(T_5=5)=1 $ である．
また， $ P(M_5=0) $ と $ P(T_5=0) $ が他の事象の和の余事象であることも同様である．
そこで， $ 1\leqq k \leqq 4 $ に対して， $ P(M_5=k) $ と $ P(T_5=k) $ を
それぞれ， $ P(M_4=k-1),\ P(M_4=k+1) $ と $ P(T_4=k-1),\ P(T_4=k+1) $ で表す．
$ P(M_5=k) $ について．
$ M_5=k $ となる事象は，
$ X_1=1 $ なら，そこからはじめて残る4回の試行で $ y=1 $ からの正方向の最大偏位が $ k-1 $ となり，
$ X_1=-1 $ なら，そこからはじめて残る4回の試行で $ y=-1 $ からの正方向の最大偏位が $ k+1 $ となるような事象である．
よって，
\[
P(M_5=k)=\dfrac{1}{2}P(M_4=k-1)+\dfrac{1}{2}P(M_4=k+1)
\]
が成り立つ．
$ P(T_5=k) $ について．
$ T_5=k $ となる事象は，
$ X_1=1 $ のとき．2回目からはじめて残る4回の試行で，
$ (Z_i=1)\cap(Z_{i+1}=2) $ か $ (Z_i=2)\cap (Z_{i+1}=1) $ が $ k-1 $ 回起こるとする．
このとき，その $ n\geqq 1 $ の部分での $ X_i=\pm 1 $ を $ X_i=\mp 1 $ に置きかえて得られる試行を考えると，
1回目の試行とあわせて $ T_5=k $ となる事象が得られる．
逆に， $ X_1=1 $ で $ T_5=k $ となる事象から逆の置きかえで，
$ (Z_i=1)\cap(Z_{i+1}=2) $ か $ (Z_i=2)\cap (Z_{i+1}=1) $ が $ k-1 $ 回起こる事象が得られる．
$ X_1=-1 $ なら，2回目からはじめて残る4回の試行で，
$ (Z_i=-1)\cap(Z_{i+1}=0) $ か $ (Z_i=0)\cap (Z_{i+1}=-1) $ が $ k+1 $ 回起こるとする．
最初に $ (Z_j=-1)\cap (Z_{j+1}=0) $ となる $ j+1 $ に対し，
$ n\geqq j+1 $ の部分での $ X_i=\pm 1 $ を $ X_i=\mp 1 $ に置きかえて得られる試行を考えると，
これによって $ T_5=k $ となる事象が1つ得られる．
逆に， $ X_1=-1 $ で $ T_5=k $ となる事象から逆の置きかえで，
$ (Z_i=-1)\cap(Z_{i+1}=0) $ か $ (Z_i=0)\cap (Z_{i+1}=-1) $ が $ k+1 $ 回起こる事象が得られる．
したがって，
\[
P(T_5=k)=\dfrac{1}{2}P(T_4=k-1)+\dfrac{1}{2}P(T_4=k+1)
\]
が成り立つ．
$ n=4 $ のときは
\[
P(M_4=k)=P(T_4=k)
\]
であったので，この漸化式と $ k=0,\ 5 $ のときの考察から
\[
P(M_5=k)=P(T_5=k)
\]
が任意の $ k $ に対して成り立つ．
注意1
同様の考察で
\[
\begin{array}{l}
P(M_{n+1}=k)=\dfrac{1}{2}P(M_n=k-1)+\dfrac{1}{2}P(M_n=k+1)\\
P(T_{n+1}=k)=\dfrac{1}{2}P(T_n=k-1)+\dfrac{1}{2}P(T_n=k+1)
\end{array}
\]
が成り立ち， $ n=2 $ のときの考察とあわせて，任意の $ n $ と $ k $ に対して
\[
P(M_n=k)=P(T_n=k)
\]
が成り立つ．
注意2
\[
P(M_n=k)={}_n \mathrm{C}_{\left[\dfrac{n+k+1}{2}\right]}\cdot 2^{-n}
\]
が成り立つ．この結論が分かっているときは，
右辺が上記漸化式を満たすことを示し，
さらに $ k=0,\ n $ のときの同様の考察と，
$ n=1 $ のときの成立の確認で，
数学的帰納法により，この等式の成立が示される．
結論が分かっていないときでも，高校範囲でこの等式を示すことができる．これについては
『確率の基本』の「酔歩の確率2」を参照のこと．
宿題とする．