2017年入試問題研究に戻る東大理科4番
$ p=2+\sqrt{5} $ とおき，自然数 $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ に対して \[ a_n=p^n+\left(-\dfrac{1}{p} \right)^n \] と定める．以下の問いに答えよ．ただし設問(1)は結論のみを書けばよい．
(1) $ a_1,\ a_2 $ の値を求めよ．
(2) $ n\geqq 2 $ とする．積 $ a_1a_n $ を， $ a_{n+1} $ と $ a_{n-1} $ を用いて表せ．
(3) $ a_n $ は自然数であることを示せ．
(4) $ a_{n+1} $ と $ a_n $ の最大公約数を求めよ．