2017年入試問題研究に戻る東大理科4番解答
(1) $ q=-\dfrac{1}{p} $ とおく． \[ q=-\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}=2-\sqrt{5} \] である． $ p+q=4,\ pq=-1 $ であり， $ a_n=p^n+q^n $ である． \begin{eqnarray*} a_1&=&p+q=4\\ a_2&=&p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=16+2=18 \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} a_1a_n&=&(p+q)(p^n+q^n)=p^{n+1}+q^{n+1}+pq(p^{n-1}+q^{n-1})\\ &=&a_{n+1}-a_{n-1} \end{eqnarray*}
(3) (2)より， \[ a_{n+1}=4a_n+a_{n-1} \quad \cdots(1) \] である．
$ a_n $ ， $ a_{n-1} $ が自然数なら $ (1) $ より， $ a_{n+1} $ は自然数である．(1)から $ a_1 $ ， $ a_2 $ が自然数なので， 数学的帰納法によって， $ a_n $ は自然数である．(4) 整数 $ a,\ b $ の最大公約数を $ (a,\ b) $ と表す．
$ (a_{n+1},\ a_n)=2 $ を数学的帰納法で示す．
$ n=1 $ のとき，(1)から $ (a_2,\ a_1)=2 $ である．
$ (a_k,\ a_{k-1})=2 $ と仮定し， $ (a_{k+1},\ a_k)=d $ とおく．
$ a_k\equiv a_{k-1}\equiv 0\quad (\bmod \ 2) $ なので， $ (1) $ を $ n=k $ で用いて， $ a_{k+1}\equiv 0\quad (\bmod \ 2) $ となり， 2は $ a_k $ と $ a_{k+1} $ の公約数である． $ d $ が $ a_{k+1} $ と $ a_k $ の最大公約数なので， $ d\geqq 2 $ である．
$ a_{k+1}\equiv a_k\equiv 0\quad (\bmod \ d) $ なので， 同様に $ (1) $ より， $ a_{k-1}\equiv 0\quad (\bmod \ d) $ となり， $ d $ は $ a_k $ と $ a_{k-1} $ の公約数である．2が $ a_k $ と $ a_{k-1} $ の最大公約数なので， $ d\leqq 2 $ である．
これより $ d=2 $ となり， $ (a_{k+1},\ a_k)=2 $ である．
よってすべての自然数 $ n $ に対し， $ a_{n+1} $ と $ a_n $ の最大公約数は2である．