2017年入試問題研究に戻る東北大後期理系5番解答
(1) $ 2x+2y+z=n $ において，
$ n $ が奇数のとき， $ n=2m+1 $ とおく． このとき $ z $ は奇数であり， $ z=2k+1 $ とおくと， $ k $ は $ 0\le k\le m $ の範囲にあり， \[ x+y=m-k \] となる．これをみたす $ (x,\ y) $ の組は $ m-k+1 $ 組みある． よって，この場合 \[ \sum_{k=0}^{m}\left(m-k+1 \right)=\dfrac{(m+1)(m+2)}{2} =\dfrac{(n+1)(n+3)}{8} \] $ n $ が偶数のとき， $ n=2m $ とおく． このとき $ z $ は偶数であり， $ z=2k $ とおくと， $ k $ は $ 0\le k\le m $ の範囲にあり， \[ x+y=m-k \] となる．同様にして \[ \sum_{k=0}^{m}\left(m-k+1\right)=\dfrac{(m+1)(m+2)}{2}=\dfrac{(n+2)(n+4)}{8} \] これより $ n=4 $ と $ n=5 $ の場合の総数はともに $ m=2 $ のときなので， \[ 6,\ \quad 6 \] である．(2) $ 2x+2y+z=n $ を満たす負でない整数 $ x,\ y,\ z $ の組の総数は \[ \begin{array}{ll} \dfrac{(n+1)(n+3)}{8}&(n:奇数)\\ \dfrac{(n+2)(n+4)}{8}&(n:偶数) \end{array} \] である．
(3) $ 2x+2y+z=2m,\ 2m+1 $ とおく． 満たす負でない整数 $ x,\ y,\ z $ の組の総数は \[ \dfrac{(m+1)(m+2)}{2}=\dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)-m(m+1)(m+2)}{6} \] である． $ n $ が偶数なら， $ m $ はそれぞれ $ 0\le m\le \dfrac{n}{2} $ と $ 0\le m\le \dfrac{n}{2}-1 $ を動く． $ n $ が奇数なら， $ m $ はそれぞれ $ 0\le m\le \dfrac{n-1}{2} $ と $ 0\le m\le \dfrac{n-1}{2} $ を動く． したがって， $ 2x+2y+z\le n $ を満たす負でない整数 $ x,\ y,\ z $ の組の総数は， \begin{eqnarray*} n:偶数&&\sum_{m=0}^{\frac{n}{2}}\dfrac{(m+1)(m+2)}{2}+\sum_{m=0}^{\frac{n}{2}-1}\dfrac{(m+1)(m+2)}{2}\\ &=&\dfrac{(\frac{n}{2}+1)(\frac{n}{2}+2)(\frac{n}{2}+3)}{6}+ \dfrac{(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}+1)(\frac{n}{2}+2)}{6}=\dfrac{(n+2)(n+3)(n+4)}{24}\\ n:奇数&&2\sum_{m=0}^{\frac{n-1}{2}}\dfrac{(m+1)(m+2)}{2}\\ &=&\dfrac{(\frac{n-1}{2}+1)(\frac{n-1}{2}+2)(\frac{n-1}{2}+3)}{3} =\dfrac{(n+1)(n+3)(n+5)}{24} \end{eqnarray*} である．