2017年入試問題研究に戻る東工大5番
実数，$a,\ b,\ c$に対して$F(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$，$f(x)=x^2+cx+1$とおく． また，複素数平面内の単位円周から2点1，$-1$を除いたものを$T$とする．
(1) $f(x)=0$の解がすべて$T$上にあるための必要十分条件を$c$を用いて表せ．
(2) $F(x)=0$の解がすべて$T$上にあるならば， \[ F(x)=(x^2+c_1x+1)(x^2+c_2x+1) \] を満たす実数$c_1,\ c_2$が存在することを示せ．
(3) $F(x)=0$の解がすべて$T$上にあるための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し， それを満たす点$(a,\ b)$の範囲を座標平面上に図示せよ．