東工大5番解答
(1) $ f(x)=0 $ の2解が $ T $ 上にあれば，それは絶対値1の虚数解である． 逆に， $ f(x)=0 $ の2解が虚数解 $ \alpha $ と $ \bar{\alpha} $ をもてば， その積 $ \alpha\bar{\alpha}=|\alpha|^2=1 $ より，それは $ T $ 上にある． よって， $ f(x)=0 $ の解がすべて $ T $ 上にあるための必要十分条件は， \[ f(x)の判別式=c^2-4<0 \] である．つまり \[ -2< c< 2 \]
(2) $ F(x) $ の係数はすべて実数なので， $ T $ 上の解は \[ \alpha,\ \bar{\alpha},\ \beta,\ \bar{\beta} \] と書け， $ \alpha\bar{\alpha}=1 $ ， $ \beta\bar{\beta}=1 $ である． \[ c_1=-(\alpha+\bar{\alpha}),\ c_2=-(\beta+\bar{\beta}) \] とおくと， $ c_1,\ c_2 $ は実数で， \[ F(x)=(x^2+c_1x+1)(x^2+c_2x+1) \] となる．
(3)
$ F(x)=0 $ の解がすべて $ T $ 上にあるなら， $ F(x)=0 $ は(2)のように分解される．
ここで，
\[
(x^2+c_1x+1)(x^2+c_2x+1)=x^4+(c_1+c_2)x^3+(c_1c_2+2)x^2+(c_1+c_2)x+1
\]
なので， $ a=c_1+c_2 $ ， $ b=c_1c_2+2 $ である．つまり，
$ c_1,\ c_2 $ は $ X $ の2次方程式
\[
g(X)=X^2-aX+b-2=0
\]
の2解である． $ F(x)=0 $ の解がすべて異なり，かつ $ T $ 上にある十分条件は，
$ c_1,\ c_2 $ が(1)をみたす異なる数であること，
つまり $ g(X)=0 $ が異なる2解をもち，ともに $ -2
この条件は
\[
g(\pm 2)>0,\ -2<\dfrac{a}{2}<2,\ a^2-4(b-2)>0
\]
つまり
\[
\begin{array}{l}
4\pm2a+b-2 >0,\ -4< a< 4\\
a^2-4b+8 >0
\end{array}
\]
これを図示する．