2017年入試問題研究に戻る早稲田教育1番問題
次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ。
(1) 座標平面上で，点$\mathrm{O}(0,0)$，$\mathrm{A}(0,1)$，$\mathrm{B}(1,0)$，$\mathrm{C}(1,1)$を考える． 点Pが点Bから点Cまで動くとき，正方形AOBCの辺および内部において， 線分OPの垂直2等分線が通る範囲の面積を求めよ。
(2) $n$を2以上の自然数とする．1から$n$までの自然数の順列 \[ a_1a_2\cdots a_n \] のうち，$a_k< a_{k+1}$を満たさないような$k$がただ1つだけある順列の総数を$P_n$とする． 例えば$n=3$の場合，条件を満たす順列全体は$\{132,213,231,312\}$であるので， $P_3=4$である．$P_{n+1}$と$P_n$の関係式を求めよ．
(3) 整数係数の3次多項式$f(x)$が$f(0)=1$かつ $f\left(\cos\dfrac{\pi}{7}\right)=0$を満たすとき， $f(x)$を求めよ．
(1) 定数$c$は$-1< c< 1$を満たすとする．すべての実数$x$に対して，関係式 \[ f(x)+f(cx)=x^2 \] を満たす連続関数$f(x)$を求めよ．