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早稲田教育4番

平面全体に縦横同じ間隔で電球が置かれていて，次の規則で点滅を繰り返すとする．

初めはすべての電球が消えている．
ある1個の電球が1秒後に点灯し，2秒後にその周りに隣接する8個の電球が点灯する． 3秒後には，さらにその外側に隣接する電球が点灯する．一般に$n+1$秒後には， $n$秒目に初めて点灯した電球の外側に隣接する電球が点灯する．
一度点灯した電球は「2秒間点灯して次の1秒間消灯」を繰り返す．

下の図は電球の配置の一部分を示している． \[ \begin{array}{ccccc} ・&・&・&・&・\\ ・&・&・&・&・\\ ・&・&・&・&・\\ ・&・&・&・&・ \end{array} \] $n\geqq 1$ とする．$n$ 秒後に初めて点灯する電球の個数を $a_n$ とし， $n$ 秒後に点灯している電球の個数を$b_n$として，次の問に答えよ．

(1)　$a_n$を$n$を用いた式で表せ．

(2)　$b_n$を$n$を用いた式で表せ．

(3)　極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n^2}$を求めよ．

解答