2017年入試問題研究に戻る

早稲田教育4番解答

(1)　 点灯する電球は，上下と左右に2列ずつ広がってゆく． したがって， $ n $ 秒後は， $ 2n-1 $ 個の電球の連続した一列の並びを1辺とする正方形の辺上の電球が点灯する． よって， $ a_1=1 $ で， $ n\ge 2 $ のとき， \[ a_n=(2n-1)^2-(2n-3)^2=8(n-1) \] である．

(2)　 すでに点灯している電球は，3秒ごとに同じ動作を繰り返す． そして， $ n+3 $ 秒後には， $ n $ 秒後の状態から， $ n+1 $ 秒後に点灯した電球が消え， $ n+2 $ 秒後， $ n+3 $ 秒後の電球が点灯状態にある． よって， \[ b_{n+3}-b_n=a_{n+3}+a_{n+2}=8(2n+3) \] が成り立つ．そして \[ b_1=1,\ b_2=9,\ b_3=25-1=24 \] である．
$ n=3m-2 $ のとき． \[ b_{3m+1}-b_{3m-2}= b_{3(m+1)-2}-b_{3m-2} =8(6m-1) \] なので， \begin{eqnarray*} b_{3m-2}&=&b_1+\sum_{k=1}^{m-1}8(6k-1)=1+8(m-1)(3m-1)\\ &=&1+8\left(\dfrac{n+2}{3}-1\right)\left(n+2-1\right)=\dfrac{8n^2-5}{3} \end{eqnarray*} $ n=3m-1 $ のとき． \[ b_{3m+2}-b_{3m-1}= b_{3(m+1)-1}-b_{3m-1} =8(6m+1) \] なので， \begin{eqnarray*} b_{3m-2}&=&b_2+\sum_{k=1}^{m-1}8(6k+1)=9+8(m-1)(3m+1)\\ &=&9+8\left(\dfrac{n+1}{3}-1\right)\left(n+1+1\right)=\dfrac{8n^2-5}{3} \end{eqnarray*} $ n=3m $ のとき． \[ b_{3m+3}-b_{3m}= b_{3(m+1)}-b_{3m} =8(6m+3)=24(2m+1) \] なので， \[ b_{3m}=b_3+\sum_{k=1}^{m-1}24(2k+1)=24+24(m-1)(m+1)=24m^2=\dfrac{8n^2}{3} \] つまり \[ b_n= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{8n^2-5}{3}&\left(n \not\equiv 0\quad (\bmod \ 3) \right)\\ \dfrac{8n^2}{3}&\left(n\equiv 0\quad (\bmod \ 3) \right) \end{array} \right. \]

(3)　 \[ \dfrac{b_n}{n^2}= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{8}{3}-\dfrac{8}{3n^2}&\left(n \not\equiv 0\quad (\bmod \ 3) \right)\\ \dfrac{8}{3}&\left(n\equiv 0\quad (\bmod \ 3) \right) \end{array} \right. \] なので，いずれも $ n \to \infty $ の極限は同じである．よって， \[ \lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n^2}=\dfrac{8}{3}． \]

問題