2018年入試問題研究に戻る阪大理系2番
$a,\ b$ を正の実数とし，$f(x)=x^4-ax^3+bx^2-ax+1$ とする．
(1) $c$ を実数とし，$f(x)$ が $x-c$ で割り切れるとする．このとき，$c>0$ であり， $f(x)$ は $(x-c)\left(x-\dfrac{1}{c}\right)$ で割り切れることを示せ．
(2) $f(x)$ がある実数 $s,\ t,\ u,\ v$ を用いて \[ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) \] と因数分解できるとき，$a\geqq 4$ が成り立つことを示せ．
(3) $a=5$ とする．$f(x)$ がある実数 $s,\ t,\ u,\ v$ を用いて \[ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) \] と因数分解できる自然数 $b$ の値をすべて求めよ．