2018年入試問題研究に戻る大阪市大後期5番
集合 $S$ を，$m^2+n^2\ (m,\ nは整数)$ の形で表される整数全体の集合，すなわち， \[ S=\{m^2+n^2\ |\ m,\ nは整数\} \] とする．たとえば， $2018=13^2+43^2$ なので，2018は集合 $S$ に属する．次の間いに答えよ．
(1) $a$を自然数とする． $a$が$S$に属するならば，$a$を4で割ったときの余りは，0，1，2のいずれかであることを示せ．
(2) $a,\ b$ を自然数とする．$a,\ b$ がともに $S$ に属するならば，$ab$ もまた $S$ に属することを示せ．
(3) 2018より大きく，$S$に属する最小の自然数を求めよ．
追加： 2018より小さく，$S$に属する最大の自然数を求めよ．
※ 授業で追加問題を言ったところ，翌日解答をもって来た人がいた． 4で割って1余る素数は平方数の和で表されることを知っていて，探したとのことである．