2018年入試問題研究に戻る京大特色2番解答
※以下は掲示板に投稿されたかたつむりさんの解答である．
$ y=x^2 $ 上の点 $ (m+a,(m+a)^2) $ （ $ m $ は正整数）に対し， \[ n+b-1< (m+a)^2\leqq n+b \] 即ち \[ \sqrt{n+b-1}< m+a\leqq \sqrt{n+b} \] を満たす正整数 $ n $ が定まる． このとき， $ y=x^2 $ 上の点 $ (\sqrt{n+b},n+b) $ と点 $ (m+a,n+b) $ との距離 $ L $ について \begin{eqnarray*} L&=&\sqrt{n+b}-(m+a)< \sqrt{n+b}-\sqrt{n+b-1}\\ &=&\dfrac{1}{\sqrt{n+b}+\sqrt{n+b-1}}< \dfrac{1}{2\sqrt{n+b-1}} \end{eqnarray*} が成り立つ． よって， $ m $ を $ m>\sqrt{50^2+1} $ , 即ち $ m\geqq 51 $ の範囲にとれば， \[ \sqrt{n+b-1}>50 \] により \[ L< \dfrac{1}{100} \] が成り立つ．