2018年入試問題研究に戻る京大特色3番
$ n $ を自然数とする．投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ $ \dfrac{1}{2} $ ずつであるような硬貨を用意し， この硬貨を $ 2^n-1 $ 回投げる．このとき $ 2^{n-1}\leqq k \leqq 2^n-1 $ である自然数 $ k $ のうち少なくとも1つが 次の条件 $ (*) $ を満たす確率を $ p_n $ とする． \[ (*) n 以下のすべての自然数\ mについて，\left[\dfrac{k}{2^{n-m}} \right]回目の硬貨投げの結果は表である． \] ただし，実数 $ x $ に対して， $ [x] $ は $ x $ より大きくない最大の整数を表す．
例えば， $ p_1 $ は硬貨を1回投げて表が出る確率を表すので， $ p_1=\dfrac{1}{2} $ である． $ p_2 $ は，硬貨を3回投げて， 「1回目と2回目がともに表」であるか 「1回目と3回目がともに表」であるかの少なくとも一方が成り立つ確率を表すので， $ p_2=\dfrac{3}{8} $ である．
以下の設問に答えよ．（1） $ p_{n+1} $ を $ p_n $ を用いて表せ．
（2） $ r_n=\dfrac{2}{p_n}-n $ とする．すべての $ n $ に対して $ r_n\geqq 3 $ が成り立つことを示せ．
（3） すべての $ n $ に対して \[ \dfrac{2}{n+3+\log n}\leqq p_n \leqq \dfrac{2}{n+3} \] が成り立つことを示せ．