2018年入試問題研究に戻る京大特色3番解答
(1) $ n $ のとき， $ \left[\dfrac{k}{2^{n-m}} \right] $ を，対応する $ k $ と $ m $ について計算する． $ m=1 $ のときは $ 2^{n-1}\leqq k \leqq 2^n-1 $ のすべてについて $ \left[\dfrac{k}{2^{n-1}} \right]=1 $ である． \[ \begin{array}{l|rrrrr} k＼m&1&2&3&\cdots&n\\ \hline 2^{n-1}& 1& \left[\dfrac{2^{n-1}}{2^{n-2}} \right]=2& \left[\dfrac{2^{n-1}}{2^{n-3}} \right]=4&\cdots& 2^{n-1}\\ 2^{n-1}+1& 1& \left[\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-2}} \right]=2& \left[\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-3}} \right]=4&\cdots& 2^{n-1}+1\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 2^{n-1}+2^{n-2}-1& 1& \left[\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}-1}{2^{n-2}} \right]=2& \left[\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}-1}{2^{n-3}} \right]=5&\cdots& 2^{n-1}+2^{n-2}-1\\ 2^{n-1}+2^{n-2}& 1& \left[\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}}{2^{n-2}} \right]=3& \left[\dfrac{2^{n-1}+2^{n-2}}{2^{n-3}} \right]=6&\cdots& 2^{n-1}+2^{n-2}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 2^{n}-1& 1& \left[\dfrac{2^{n}-1}{2^{n-2}} \right]=3& \left[\dfrac{2^{n}-1}{2^{n-3}} \right]=7&\cdots& 2^{n}-1 \end{array} \] $ m=2 $ のときは $ 2^{n-2} $ ずつの $ k $ に対して2と3の値をとり， $ m=3 $ のときは $ 2^{n-3} $ ずつの $ k $ に対して4，5，6，7の値をとる． 以下同様に進み， $ m=n $ のときはすべて $ k $ と同じ値をとる． このように配列されるので， $ m=2,\ \cdots,\ n $ の， $ 2^{n-1}\leqq k \leqq 2^{n-1}+2^{n-2}-1 $ の部分 \[ \begin{array}{rrrr} m=2&m=3&\cdots&m=n\\ \hline 2& 4&\cdots& 2^{n-1}\\ 2& 4&\cdots& 2^{n-1}+1\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 2& 5&\cdots& 2^{n-1}+2^{n-2}-1 \end{array} \] は， $ n-1 $ に対応する上表全体と同じ構造をしている．3からはじまる下半分の部分も同様である． $ n $ のとき題意の事象が起こるのは， まず1枚目は表となり， かつ，2枚目が2の部分と，3の部分について，それぞれ対応するすべての $ m $ に対して表となることが， 対応する $ k $ の中に存在する事象となる．その確率はそれぞれ $ p_{n-1} $ である． したがって， $ n $ のときに題意の事象となるのは， 2枚目が2の部分と，3の部分について，いずれもそれが起こらない事象の余事象である． よって， \[ p_n=\dfrac{1}{2}\left\{1-(1-p_{n-1})^2 \right\} \] が成り立つ． これから， \[ p_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(2p_n-{p_n}^2 \right) \] である．
(2) すべての $ n $ に対して $ r_n\geqq 3 $ が成り立つことを $ n $ についての数学的帰納法で示す． $ n=1 $ のとき， \[ r_1=\dfrac{2}{p_1}-1=3 \] より成立する． $ r_n\geqq 3 $ とする．このとき， $ \dfrac{2}{p_n}-1\geqq n+2>0 $ なので， \begin{eqnarray*} r_{n+1}&=& \dfrac{2}{p_{n+1}}-(n+1)=\dfrac{4}{(2-p_n)p_n}-(n+1)\\ &=&\dfrac{2}{2-p_n}+\dfrac{2}{p_n}-(n+1) =1+\dfrac{1}{\dfrac{2}{p_n}-1}+\dfrac{2}{p_n}-(n+1)\\ &> &\dfrac{2}{p_n}-n=r_n\geqq 3 \end{eqnarray*} が成り立ち，すべての $ n $ で $ r_n\geqq 3 $ が成立する．
(3) $ r_n\geqq 3 $ より， $ p_n\leqq \dfrac{2}{n+3} $ は成立する． また，不等式 $ \dfrac{2}{n+3+\log n}\leqq p_n $ は，不等式 \[ r_n\leqq 3+\log n \quad \cdots① \] と同値である．これを $ n $ についての数学的帰納法で示す． $ n=1 $ のときは $ \log 1=0 $ から，$ (2) $ と同様に等号で成立する． $ n $ のとき， $ ① $ が成立するとする． $ (2) $と同様に考え， $ \dfrac{2}{p_n}-1\geqq n+2 $ を用いると， \[ r_{n+1}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{p_n}-1}+r_n \leqq\dfrac{1}{n+2}+3+\log n \] が成立する．したがって $ n+1 $ のとき $ ① $ に対応する不等式が成立することを示すために， \[ \dfrac{1}{n+2}+\log n\leqq \log(n+1) \] が成立することを示せばよい． $ \dfrac{1}{n+2}< \dfrac{1}{n+1} $ なので， \[ \dfrac{1}{n+1}\leqq \log(n+1)-\log n \quad \cdots(*) \] が成立することを示せばよい． 区間 $ \left[n,\ n+1 \right] $ で \[ \dfrac{1}{n+1}\leqq \dfrac{1}{x} \] であるから， \[ \dfrac{1}{n+1}=\int_n^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\,dx\leqq \int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\,dx =\left[\log x \right]_n^{n+1}=\log(n+1)-\log n \] より $ (*) $ は成立する．
(*)の別方法
次のように数列だけで示すこともできる． 不等式$(*)$は \[ 1\leqq \log\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1} \] と変形され，これより \[ e\leqq \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1} \quad \cdots ② \] を示せばよい． 数列 $ \left\{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1}\right\} $ が単調減少であること，つまり \[ \left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+2}< \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1} \quad \cdots③ \] を示す． \begin{eqnarray*} ③ &\iff&\left(\dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+2}< \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^{n+1}\\ &\iff&\left(\dfrac{n+1}{n+2} \right)^{n+2}>\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n+1} \iff\dfrac{n+1}{n+2}>\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{\frac{n+1}{n+2}} \quad \cdots ④ \end{eqnarray*} ここで $ n+1 $ 個の $ \dfrac{n}{n+1} $ と1個の1の相加平均と相乗平均の不等式から \[ \dfrac{\dfrac{n}{n+1}\times (n+1)+1}{n+2} \geqq \left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{\frac{n+1}{n+2}} \] が成り立つので， $ ④ $ が成立する． また， \[ \lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1}= \lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n\left(1+\dfrac{1}{n} \right)=e \] なので， 数列 $ \left\{\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1}\right\} $ は，単調に減少して $ e $ に収束する．よって $②$ が成立し， $ n+1 $ のとき $ ① $ が成立することことが示された． よってすべての $ n $ で $ ① $ が成立し， すべての $ n $ で(3)の不等式が成立することが示された．