2018年入試問題研究に戻る特色入試総人理系2番
$ a\geqq 0 $ に対して， 放物線 $ y=\dfrac{x^2}{2} $ 上の点 $ \mathrm{P}_a\left(a,\ \dfrac{a^2}{2} \right) $ における接線を $ l_a $ で表す． 点 $ \mathrm{Q}\left(0,\ \dfrac{5}{2} \right) $ から接線 $ l_a $ に下ろした垂線と接線 $ l_a $ との交点を $ \mathrm{H}_a $ で表す．
問1 $ \mathrm{P}_a $ と $ \mathrm{H}_a $ が一致するような正の数 $ a $ を $ a_0 $ と表す．このとき， $ a_0 $ の値を求めよ．
問2 $ a $ が $ 0\leqq a \leqq a_0 $ の範囲を動くときにできる点 $ \mathrm{H}_a $ の軌跡と，放物線 $ y=\dfrac{x^2}{2} $ で囲まれた部分の面積Sを求めよ．