特色入試総人理系2番解答
問1 $ \mathrm{P}_a $ と $ \mathrm{H}_a $ が一致するのは
\[
\mathrm{QP}_a\bot \ l_a
\]
となるときである． $ \left(\dfrac{x^2}{2}\right)'=x $ より， $ l_a $ の方程式は
$ y=a(x-a)+\dfrac{a^2}{2}=ax-\dfrac{a^2}{2} $ で，その傾きは $ a $ である．
また直線 $ \mathrm{QP}_a $ の傾きは， $ \dfrac{\frac{a^2}{2}-\frac{5}{2}}{a-0}=\dfrac{a^2-5}{2a} $ である．
これが直交するので，積が $ -1 $ ．
\[
\dfrac{a^2-5}{2a}\cdot a=-1
\]
$ a>0 $ なので， $ a_0=\sqrt{3} $ ．
問2 $ a $ は $ 0\leqq a \leqq \sqrt{3} $ の範囲を動く． $ \mathrm{H}_a $ の座標を $ (X,\ Y) $ とする． $ \mathrm{H}_a $ は $ l_a $ 上の点なので， $ Y=aX-\dfrac{a^2}{2} $ を満たす．そして， \[ \mathrm{QH}_a\bot\mathrm{P}_a\mathrm{H}_a \] であり， \[ \overrightarrow{\mathrm{QH}_a}=\left(X,\ Y-\dfrac{5}{2} \right),\ \quad \overrightarrow{\mathrm{P}_a\mathrm{H}_a}=\left(X-a,\ Y-\dfrac{a^2}{2} \right) \] なので， \begin{eqnarray*} &&\left(X,\ Y-\dfrac{5}{2} \right)\cdot\left(X-a,\ Y-\dfrac{a^2}{2} \right)\\ &=&\left(X,\ aX-\dfrac{a^2+5}{2} \right)\cdot\left(X-a,\ aX-a^2\right)=0 \end{eqnarray*} これから \[ (X-a)\left\{(a^2+1)X-\dfrac{a(a^2+5)}{2} \right\}=0 \] $ X=a $ となるのは(1)から $ a=\sqrt{3} $ のとき． $ 0< a< \sqrt{3} $ においては， \begin{eqnarray*} X&=&\dfrac{a}{2}+\dfrac{2a}{a^2+1}\\ Y&=&aX-\dfrac{a^2}{2}=2-\dfrac{2}{a^2+1} \end{eqnarray*}
点 $ \mathrm{H}_a $ は領域 $ y\leqq \dfrac{x^2}{2} $ にあり， \begin{eqnarray*} \dfrac{dX}{da}&=&\dfrac{d}{da}\dfrac{a^3+5a}{2(a^2+1)}=\dfrac{(a^2-1)^2+4}{2(a^2+1)^2}>0\\ \dfrac{dY}{da}&=&\dfrac{4a}{(a^2+1)^2}>0 \end{eqnarray*} より，面積 $ S $ は \[ S=\int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{x^2}{2}\,dx-\int_0^{\sqrt{3}}Y\,dX =\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\int_0^{\sqrt{3}}Y\,dX \] で与えられる．
注意 ここまでで， $ S $ を求める積分計算は確定する． グラフの慨形は次のようになる．
ここで $ a=\tan \theta\ \left(0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{3} \right) $ とおく．
\begin{eqnarray*}
X&=&\dfrac{1}{2}\tan\theta+2\tan\theta\cos^2\theta=\dfrac{1}{2}\tan\theta+\sin2\theta\\
Y&=&2-2\cos^2\theta=2\sin^2\theta
\end{eqnarray*}
となり，さらに
\[
\dfrac{dX}{d\theta}=\dfrac{1}{2\cos^2\theta}+2\cos2\theta
\]
となるので，
\begin{eqnarray*}
\int_0^{\sqrt{3}}Y\,dX&=&
\int_0^{\frac{\pi}{3}}2\sin^2\theta\left(\dfrac{1}{2\cos^2\theta}+2\cos2\theta\right)\,d\theta\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left\{\tan^2\theta+2(1-\cos2\theta)\cos2\theta \right\}\,d\theta\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left\{\tan^2\theta+2\cos2\theta-(\cos4\theta+1)\right\}\,d\theta\\
&=&\left[\tan\theta-\theta+\sin2\theta-\dfrac{1}{4}\sin4\theta-\theta\right]_0^{\frac{\pi}{3}}\\
&=&\sqrt{3}-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{8}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{13\sqrt{3}}{8}-\dfrac{2\pi}{3}
\end{eqnarray*}
よって，
\[
S=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{8}
\]
である．