東北大理系4番解答
(1) 実数解を $ z=t $ とおく．方程式を満たすので $ t\ne 0 $ である． このとき， \[ t^2-\alpha t+2i=0 \] より， \[ \alpha=t+\dfrac{2i}{t} \] 逆に $ t\ (t\ne 0) $ に対して $ \alpha $ をこの式で定めれば， $ z=t $ が解となる． $ \alpha=x+iy $ とおくと， $ x=t $ ， $ y=\dfrac{2}{t} $ なので， $ x $ と $ y $ が満たすべき条件は $ xy=2 $ である． これが点 $ \alpha $ が複素数平面上に描く図形である．図は左図．
(2) 絶対値1の複素数解を $ z=\cos\theta+i\sin\theta $ とおく． \begin{eqnarray*} \alpha&=&\cos\theta+i\sin\theta+\dfrac{2i}{\cos\theta+i\sin\theta}\\ &=&\cos\theta+i\sin\theta+2i(\cos\theta-i\sin\theta) =\cos\theta+2\sin\theta+i(\sin\theta+2\cos\theta) \end{eqnarray*} 原点を中心に． $ \alpha $ を $ \dfrac{\pi}{4} $ 回転させた点を表す複素数を $ \beta $ とすれば \begin{eqnarray*} \beta&=&\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4} \right)\alpha =\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\alpha\\ &=&\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left\{\sin\theta-\cos\theta+3i(\sin\theta+\cos\theta) \right\} \end{eqnarray*} である． $ \alpha=x+iy $ ， \[ x=\dfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sqrt{2}}， y=\dfrac{3(\sin\theta+\cos\theta)}{\sqrt{2}} \] となる． これから， \[ \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(-x+\dfrac{y}{3} \right),\ \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\dfrac{y}{3} \right) \] となるので， \[ \dfrac{1}{2}\left(-x+\dfrac{y}{3} \right)^2+\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{y}{3} \right)^2=1 \] これより， \[ x^2+\dfrac{1}{9}y^2=1 \] を得る．図は右図．
