2019年入試問題研究に戻る大阪市大後期工学部4番
$ \alpha $ を $ 0< \alpha< 1 $ を満たす実数とする．自然数 $ n $ に対して， $ 3^{n-1}\alpha $ の整数部分を $ a_n $ ， 小数部分を $ b_n $ とする． $ b_n $ が条件 \[ \begin{array}{l} n\ が奇数のとき,\ \dfrac{1}{3}\leqq b_n<\dfrac{2}{3}\\ n\ が偶数のとき,\ 0\leqq b_n<\dfrac{1}{3} \end{array} \] を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，実数 $ x $ に対して， $ x $ の整数部分が $ a $ ，小数部分か $ b $ であるとは， $ a $ が整数であり， $ 0\leqq b< 1 $ であって $ x=a+b $ と表されることをいう．
(1) $ k $ を自然数とするとき， $ b_{2k+1} $ を $ b_{2k} $ を用いて表せ．
(2) $ k $ を自然数とするとき， $ b_{2k} $ を $ b_{2k-1} $ を用いて表せ．
(3) $ \alpha $ を求めよ.