2019年入試問題研究に戻る大阪市大後期工学部4番解答
(1) $ 3^{n-1}\alpha=a_n+b_n $ なので， \[ 3^n\alpha=3a_n+3b_n=a_{n+1}+b_{n+1} \] である．ここで， $ n $ が奇数なら $ 1\leqq 3b_n< 2 $ なので， $ 3b_n $ の小数部分が $ b_{n+1} $ であることから \[ b_{n+1}=3b_n-1 \] となる． $ n $ が偶数なら $ 0\leqq 3b_n< 1 $ なので，同様にして \[ b_{n+1}=3b_n \] となる． これより \[ b_{2k＋1}=3b_{2k} \] である．
(2) 同様にして， \[ b_{2k}=3b_{2k-1}-1 \] である．
(3) (1)，(2)より \[ b_{2k+1}=9b_{2k-1}-3 \] がなり立つ．これから \[ b_{2k+1}-\dfrac{3}{8}=9\left(b_{2k-1}-\dfrac{3}{8}\right) \] つまり， \[ b_{2k-1}-\dfrac{3}{8}=9^{k-1}\left(b_1-\dfrac{3}{8} \right) \] $ b_1=\alpha $ なので， \[ b_{2k-1}=9^{k-1}\left(\alpha-\dfrac{3}{8} \right)+\dfrac{3}{8} \] すべての自然数 $ k $ に対して $ 0\leqq b_{2k-1}< 1 $ である． $ \alpha-\dfrac{3}{8}\ne 0 $ ならば， $ \displaystyle \lim_{k \to \infty}9^{k-1}=+\infty $ なので，この条件をみたさない． よって $ \alpha=\dfrac{3}{8} $ が必要である． このとき， \[ b_{2k-1}=\dfrac{3}{8} \] なので， $ \dfrac{1}{3}\leqq b_{2k-1}< \dfrac{2}{3} $ をみたし， $ k\geqq 2 $ のとき \begin{eqnarray*} a_{2k-1}&=&\dfrac{3}{8}\cdot3^{2k-1-1}-b_{2k-1}\\ &=&3\cdot\dfrac{3^{2k-2}-1}{8} =3\cdot\dfrac{9^{k-1}-1}{9-1}\\ &=&3\left(1+9+9^2+\cdots +9^{k-2} \right) \end{eqnarray*} は整数となり，条件をみたす．
よって， $ \alpha=\dfrac{3}{8} $ である．