2019年入試問題研究に戻る特色入試総人理系2番解答
問1 楕円 $ C_a $ の方程式において $ x=0 $ のとき， $ y $ は $ -1,\ 2a+1< -3 $ である． よって， $ C_a $ は $ y< 0 $ の領域にある．
$ P $ 上の点 $ (t,\ t^2) $ での接線は \[ y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2 \] である．これと $ C_a $ との交点の $ x $ 座標は， $ C_a $ の方程式から $ y $ を消去して \begin{eqnarray*} &&(a+1)^2x^2+(2tx-t^2-a)^2-(a+1)^2\\ &=&\{(a+1)^2+4t^2\}x^2-4t(t^2+a)x+(t^2+a)^2-(a+1)^2=0 \end{eqnarray*} で与えられる．この $ P $ の接線が $ C_a $ とも接するときは，この判別式を $ D $ とすると， \begin{eqnarray*} D/4&=&4t^2(t^2+a)^2-\{(a+1)^2+4t^2\}\{(t^2+a)^2-(a+1)^2\}\\ &=&-(a+1)^2\{t^4+2(a-2)t^2-2a-1\}=0 \end{eqnarray*} となるときである． $ a+1\ne 0 $ なので， \[ t^4+2(a-2)t^2-2a-1=0 \] これより \[ t^2=-(a-2)\pm\sqrt{(a-2)^2+2a+1}=2-a\pm\sqrt{(a-1)^2+4} \] である．したがって，第1象限の2つの接点 $ t_1,\ t_2\ (t_1< t_2) $ は \[ t_1=\sqrt{2-a-\sqrt{(a-1)^2+4}},\ \quad t_2=\sqrt{2-a+\sqrt{(a-1)^2+4}} \] である． よって， \begin{eqnarray*} S(a)&=& \int_{t_1}^{\frac{t_1+t_2}{2}}(x^2-2t_1x+{t_1}^2)\,dx+ \int_{\frac{t_1+t_2}{2}}^{t_2}(x^2-2t_2x+{t_2}^2)\,dx\\ &=&\biggl[\dfrac{1}{3}(x-t_1)^3\biggr]_{t_1}^{\frac{t_1+t_2}{2}}+ \biggl[\dfrac{1}{3}(x-t_2)^3\biggr]_{\frac{t_1+t_2}{2}}^{t_2}\\ &=&\dfrac{1}{24}(t_2-t_1)^3-\dfrac{1}{24}(t_1-t_2)^3=\dfrac{1}{12}(t_2-t_1)^3\\ &=&\dfrac{1}{12}\left\{\sqrt{2-a+\sqrt{(a-1)^2+4}}-\sqrt{2-a-\sqrt{(a-1)^2+4}}\right\}^3 \end{eqnarray*}問2 \begin{eqnarray*} &&\sqrt{2-a+\sqrt{(a-1)^2+4}}-\sqrt{2-a-\sqrt{(a-1)^2+4}}\\ &=&\dfrac{2\sqrt{(a-1)^2+4}}{\sqrt{2-a+\sqrt{(a-1)^2+4}}+\sqrt{2-a-\sqrt{(a-1)^2+4}}}\\ &=&\dfrac {(-a)\times 2\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}} {\sqrt{-a}\times \left\{ \sqrt{\dfrac{2}{-a}+1+\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}}+ \sqrt{\dfrac{2}{-a}+1-\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}} \right\}} \end{eqnarray*} よって， \[ S(a)=\dfrac{2(-a)^{\frac{3}{2}}}{3}\left\{\dfrac {\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}} {\sqrt{\dfrac{2}{-a}+1+\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}}+ \sqrt{\dfrac{2}{-a}+1-\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}} }\right\}^3 \] ここで， \[ \lim_{a\to -\infty}\dfrac {\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}} {\sqrt{\dfrac{2}{-a}+1+\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}}+ \sqrt{\dfrac{2}{-a}+1-\sqrt{\left(-1+\dfrac{1}{a}\right)^2+\dfrac{4}{a^2}}} }= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \] なので， \[ \lim_{a\to -\infty}\dfrac{S(a)}{(-a)^{\frac{3}{2}}} =\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^3=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \] となる．つまり \[ \beta=\dfrac{3}{2},\ \quad \lim_{a\to -\infty}\dfrac{S(a)}{(-a)^{\beta}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \] である．