2019年入試問題研究に戻るお茶大理(2)第2番
数列 $ \{a_n\} $ がすべての自然数 $ n $ について \[ a_n+a_{n+2}\geqq 2a_{n+1} \] を満たしているとする．
(1) すべての自然数 $ n $ に対して次の不等式が成立することを示せ． \[ \dfrac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}}{3}\geqq \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2} \]
(2) すべての自然数 $ n $ と $ k $ に対して次の不等式が成立することを示せ． \[ \dfrac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}+\cdots+a_{n+2k}}{k+1}\geqq \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}+a_{n+5}+\cdots+a_{n+2k-1}}{k} \]