2019年入試問題研究に戻るお茶大理(2)第2番解答
(1) 条件から \begin{eqnarray*} &&a_n+a_{n+2}\geqq 2a_{n+1}\\ &&a_{n+2}+a_{n+4}\geqq 2a_{n+3} \end{eqnarray*} これより， \[ a_n+2a_{n+2}+a_{n+4}\geqq 2a_{n+1}+2a_{n+3} \] ここで，条件式を $ n+1 $ で用いることにより \[ \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2} \geqq a_{n+2} \] が成立する．よって， \[ a_n+2a_{n+2}+a_{n+4}\leqq a_n+a_{n+2}+a_{n+4}+\dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2} \] である．これから， \[ a_n+a_{n+2}+a_{n+4}+\dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2}\geqq 2a_{n+1}+2a_{n+3} \] となる．つまり， \[ a_n+a_{n+2}+a_{n+4}\geqq \dfrac{3}{2}\left(a_{n+1}+a_{n+3} \right) \] より，すべての自然数 $ n $ に対して，不等式 \[ \dfrac{a_n+a_{n+2}+a_{n+4}}{3}\geqq \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{2} \] が成立する．
(2) 各自然数 $ k $ に対し， 命題：
が成立することを， $ k $ についての数学的帰納法で証明する．すべての自然数 $ n $ に対し不等式 \[ \dfrac{1}{k+1}\sum_{j=0}^ka_{n+2j}\geqq \dfrac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}a_{n+2j+1} \] が成立する．
数列 $ \{a_n\} $ の条件から $ k=1 $ のときは成立する．
$ k-1 $ のとき成立するとする．
数列 $ \{a_n\} $ の条件から、不等式 \[ a_{n+2j}+a_{n+2j+2}\geqq 2a_{n+2j+1} \] が， $ 0\leqq j\leqq k-1 $ で成立する．よって， \[ \sum_{j=0}^{k-1}\left(a_{n+2j}+a_{n+2j+2}\right)\geqq \sum_{j=0}^{k-1}2a_{n+2j+1} \] ここで， \[ 左辺=\sum_{j=0}^{k}a_{n+2j}+\left\{a_{n+2}+a_{n+4}+\cdots+a_{n+2(k-1)}\right\} \] であるが， \begin{eqnarray*} &&a_{n+2}+a_{n+4}+\cdots+a_{n+2(k-1)}\\ &=&a_{n+1+1}+a_{n+1+3}+\cdots+a_{n+1+2k-3}=\sum_{j=0}^{k-2}a_{n+1+2j+1} \end{eqnarray*} である．ここで， $ k-1 $ のときに命題が成立するという帰納法の仮定を， $ n+1 $ で用いることにより， \[ \dfrac{1}{k-1}\sum_{j=0}^{k-2}a_{n+1+2j+1} \leqq \dfrac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}a_{n+1+2j} \] である．したがって(1)と同様に考え， \[ \sum_{j=0}^{k}a_{n+2j}+\dfrac{k-1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}a_{n+1+2j}\geqq \sum_{j=0}^{k-1}2a_{n+2j+1} \] が成立する．これより， \[ \sum_{j=0}^{k}a_{n+2j}\geqq \left(2-\dfrac{k-1}{k} \right) \sum_{j=0}^{k-1}2a_{n+2j+1} \] が成りたち，これを整理して $ k $ のとき命題が成立した．
数学的帰納法からすべての自然数に対して命題が成立することが示された．