東大理科第6問解答
(1)
$ f(z)=z^4-2z^3-2az+b $ とおく．
仮に $ \alpha $ が虚数とすると， $ a $ と $ b $ が実数なので
\begin{eqnarray*}
f(\overline{\alpha})
&=&\overline{\alpha}^4-2\overline{\alpha}^3-2a\overline{\alpha}+b\\
&=&\overline{\alpha}^4-2\overline{\alpha}^3-2\overline{a}\overline{\alpha}+\overline{b}\\
&=&\overline{\alpha^4-2\alpha^3-2a\alpha+b}=\overline{f(\alpha)}=0
\end{eqnarray*}
となり， $ z=\overline{\alpha} $ も解となる．
よって虚数解の個数は偶数個である．
すべて実数なら $ \alpha\beta+\gamma\delta $ が実数であり，条件3に反する．
4個とも虚数解のとき，
\begin{eqnarray*}
\overline{\alpha}=\beta,\ \overline{\gamma}=\delta\ なら
&\alpha\beta+\gamma\delta=|\alpha|^2+|\delta|^2:実数\\
\overline{\alpha}=\gamma,\ \overline{\beta}=\delta\ なら
&\alpha\beta+\gamma\delta=\alpha\beta+\overline{\alpha\beta}:実数\\
\overline{\alpha}=\delta,\ \overline{\beta}=\gamma\ なら
&\alpha\beta+\gamma\delta=\alpha\beta+\overline{\alpha\beta}:実数
\end{eqnarray*}
となり，条件3に反する．
よって， $ \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta $ のうち，ちょうど2つが実数であり，
残りの2つは互いに共役な虚数である．
(2)
条件は $ \alpha $ と $ \beta $ ， $ \gamma $ と $ \delta $ に関してそれぞれ対称で，
$ \alpha\beta $ と $ \gamma\delta $ に関しても対称である．
よって $ \alpha $ を虚数解としてよく， $ \alpha\beta+\gamma\delta $ が虚数であるので，
$ \overline{\alpha} $ は， $ \gamma $ か $ \delta $ である．対称性から
$ \overline{\alpha}=\delta $ とする．そして $ \beta $ と $ \gamma $ が実数であるとする．
$ \alpha\beta+\gamma\delta $ が純虚数なので，
\[
\alpha\beta+\gamma\delta+\overline{\alpha\beta+\gamma\delta}=0
\]
ここで，
\begin{eqnarray*}
&&\alpha\beta+\gamma\delta+\overline{\alpha\beta+\gamma\delta}
=\alpha\beta+\gamma\overline{\alpha}+\overline{\alpha}\beta+\gamma\alpha\\
&=&(\alpha+\overline{\alpha})(\beta+\gamma)=0
\end{eqnarray*}
i) $ \alpha+\overline{\alpha}=0 $ のとき．
解と係数の関係から
\begin{eqnarray*}
2&=&\alpha+\beta+\gamma+\overline{\alpha}=\beta+\gamma\\
0&=&(\alpha+\overline{\alpha})(\beta+\gamma)+\alpha\overline{\alpha}+\beta\gamma
=\alpha\overline{\alpha}+\beta\gamma\\
2a&=&\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\overline{\alpha}+\alpha\gamma\overline{\alpha}+\beta\gamma\overline{\alpha}
=\alpha\overline{\alpha}(\beta+\gamma)=2\alpha\overline{\alpha}
\end{eqnarray*}
よって，
\[
a=\alpha\overline{\alpha},\ \quad \beta\gamma=-\alpha\overline{\alpha}
\]
となり，
\[
b=\alpha\beta\gamma\overline{\alpha}=-a^2
\]
ii) $ \beta+\gamma=0 $ のとき．
\begin{eqnarray*}
2&=&\alpha+\beta+\gamma+\overline{\alpha}=\alpha+\overline{\alpha}\\
0&=&(\alpha+\overline{\alpha})(\beta+\gamma)+\alpha\overline{\alpha}+\beta\gamma
=\alpha\overline{\alpha}+\beta\gamma\\
2a&=&\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\overline{\alpha}+\alpha\gamma\overline{\alpha}+\beta\gamma\overline{\alpha}
=(\alpha+\overline{\alpha})\beta\gamma=2\beta\gamma
\end{eqnarray*}
よって，
\[
a=\beta\gamma,\ \quad \alpha\overline{\alpha}=-\beta\gamma
\]
となり，
\[
b=\alpha\beta\gamma\overline{\alpha}=-a^2
\]
である．
よって，つねに $ b=-a^2 $ である．
(3)
(2)より，
\[
f(z)=z^4-2z^3-2az-a^2=(z^2+a)(z^2-2z-a)
\]
となる．4つの解は
\[
\pm \sqrt{-a},\ 1\pm\sqrt{1+a}
\]
である．重解がないという条件から
\[
a\ne 0,\ -1
\]
である．また $ \alpha+\beta=x+iy $ とおく．
(2)のi)のとき． $ \alpha $ は純虚数， $ \beta $ は実数なので， $ a >0 $ で $ 1+a >0 $ であり，このとき
\[
\begin{array}{l}
\alpha,\ \overline{\alpha}=\pm \sqrt{a}i,\ \\
\beta,\ \gamma=1\pm\sqrt{1+a}
\end{array}
\]
これより，
\[
x=1\pm\sqrt{1+a},\ y=\pm \sqrt{a}
\]
よって，
\[
(x-1)^2-y^2=1,\ (x\ne 0,2,\ y\ne 0)
\]
(2)のii)のとき．
同様にして， $ a< 0 $ で $ 1+a< 0 $ であり，
\[
\begin{array}{l}
\alpha,\ \overline{\alpha}=1\pm\sqrt{a+1}i,\ \\
\beta,\ \gamma=\pm\sqrt{-a}
\end{array}
\]
これより，
\[
x=1\pm\sqrt{-a},\ y=\pm\sqrt{a+1}
\]
よって，
\[
(x-1)^2-y^2=1,\ (x\ne 0,2,\ y\ne 0)
\]
以上から，複素数 $ \alpha+\beta $ がとりうる範囲は
双曲線 $ (x-1)^2-y^2=1 $ から2点 $ (0,0),\ (2,0) $ を除いたものである．
