2019年入試問題研究に戻る

東工大第4問

$ H_1,\ \cdots,\ H_n $ を空間内の相異なる $ n $ 枚の平面とする． $ H_1,\ \cdots,\ H_n $ によって空間が $ T(H_1,\ \cdots,\ H_n) $ 個の空間領域に分割さわるとする． 例えば，空間の座標を $ (x,\ y,\ z) $ とするとき，

● 平面 $ x=0 $ を $ H_1 $ ，平面 $ y=0 $ を $ H_2 $ ，平面 $ z=0 $ を $ H_3 $ とすると $ T(H_1,\ H_2,\ H_3)=8 $ ，
● 平面 $ x=0 $ を $ H_1 $ ，平面 $ y=0 $ を $ H_2 $ ，平面 $ x+y=1 $ を $ H_3 $ とすると $ T(H_1,\ H_2,\ H_3)=7 $ ，
● 平面 $ x=0 $ を $ H_1 $ ，平面 $ x=1 $ を $ H_2 $ ，平面 $ z=0 $ を $ H_3 $ とすると $ T(H_1,\ H_2,\ H_3)=6 $ ，
● 平面 $ x=0 $ を $ H_1 $ ，平面 $ y=0 $ を $ H_2 $ ，平面 $ z=0 $ を $ H_3 $ ， 平面 $ x+y+z=1 $ を $ H_4 $ とすると $ T(H_1,\ H_2,\ H_3,\ H_4)=15 $ ，

である．

(1)　各 $ n $ に対して $ T(H_1,\ \cdots,\ H_n) $ のとりうる値のうち最も大きいものを求めよ．
(2)　各 $ n $ に対して $ T(H_1,\ \cdots,\ H_n) $ のとりうる値のうち2番目に大きいものを求めよ． ただし $ n\geqq 2 $ とする．
(3)　各 $ n $ に対して $ T(H_1,\ \cdots,\ H_n) $ のとりうる値のうち3番目に大きいものを求めよ． ただし $ n\geqq 3 $ とする．

解答