2019年入試問題研究に戻る東工大第4問解答
(1) 平面上の $ n $ 本の直線が，一般の位置にある，とは次のこととする． \[ \begin{array}{rl} i)&どの2本も平行でない．\\ ii)&3本が1点で交わることもない． \end{array} \] 一般の位置にある $ n $ 本の直線によって， $ a_n $ 個の領域に分割されるとする． $ a_1=2 $ であり， $ n $ 本あるところにさらに1本追加すると，その直線が他の直線と $ n $ 回交わり， $ n+1 $ 個の部分に分けられる． それだけ分割された領域の個数が増える．よって， \[ a_{n+1}=a_n+n+1,\ a_1=2 \] これより， $ n\geqq 2 $ のとき． \[ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)=\dfrac{n^2+n+2}{2} \] となる． これが，平面を $ n $ 本の直線で分割したときの，分割された領域の個数の最大値である．
$ T(H_1,\ \cdots,\ H_n) $ のことを分割数ということにする． 分割数のうち最も大きいものを $ b_n $ とする．
$ n $ 枚の平面が一般の位置にある，とは次のこととする． \[ \begin{array}{rl} 1)&どの2枚も平行でない．\\ 2)&どの交直線も平行でない．\\ 3)&どの平面においても，他の面との共有直線は一般の位置にある． \end{array} \] $ 3) $ はすべての平面の共有直線において， $ i) $ と $ ii) $ がなりたつことを意味する．
$ n $ 枚によって $ b_n $ に分割されているところにさらに1枚，他の $ n $ 枚と一般の位置にあるように追加する． これが，1枚追加することで増加する増加分の最大値である． このとき，その平面が他の $ n $ 枚の平面と交わり， それらでできる直線は一般の位置にあるので，追加された平面は， $ a_n $ 個の領域に分けられる． それだけ分割された領域の個数が増える．よって， \[ b_{n+1}=b_n+a_n,\ b_1=2 \] これより， \begin{eqnarray*} b_n&=&b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k^2+k+2}{2}\\ &=&2+\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\dfrac{n(n-1)}{2}+2(n-1) \right\}\\ &=&\dfrac{n^3+5n+6}{6} \end{eqnarray*} となる． これは $ n=1 $ でも成立する．(2) $ n\geqq 2 $ のとき， $ n-1 $ 枚を分割される領域が $ b_{n-1} $ 個となるようにおいて， $ n $ 枚目を一般の位置でないようにおくことを考える．
$ n-1 $ 枚のうちの2平面に対して， $ n $ 枚目をその交直線と平行な平面にとる． その $ n $ 枚目の平面上の直線に関して $ i) $ でないことになる． このとき，平行になることによって分割される領域が，一般の位置にある場合から1減る． したがって， 分割数のとりうる値のうち2番目に大きいものは \[ b_n-1=\dfrac{n^3+5n}{6} \] である．(3) $ n\geqq 5 $ とする． $ n-2 $ 枚で分割された個数が $ b_{n-2} $ であるように置かれている． ここに，1枚をある交直線と平行に置く．また他の1枚を他の異なる交直線と平行になるように置く． このとき，分割数は $ b_n-2 $ である． $ n\geqq 5 $ のとき， $ T(H_1,\ \cdots,\ H_n) $ のとりうる値のうち3番目に大きいものは \[ b_n-2=\dfrac{n^3+5n}{6}-1 \] である． $ n=4 $ のとき． $ b_4=\dfrac{64+20+6}{6}=15 $ である．
個数が2番目に大きい分割数は(2)より14である．
平面 $ x=0 $ を $ H_1 $ ，平面 $ y=0 $ を $ H_2 $ ，平面 $ z=0 $ を $ H_3 $ ， 平面 $ x=1 $ を $ H_4 $ とすると，分割数は12である．
分割数が13となる配置が存在しないことを示す．
3枚の平面の配置で場合を分ける．
(ア) 3枚の平面が互いに交わりをもつとき．以上から，分割数が13となる平面の配置は存在せず， 2番目に大きい分割数は12である．
そのうち，3本の異なる交線が互いに平行ではないときは $ b_3=8 $ となる場合である． ここに，新たに1枚の平面を加える．
その平面がどの交線も含まず，どの交線とも平行でない場合，分割数は $ b_4=15 $ となる．
次に，どの交線も含まないが，いずれか1つの交線と平行な場合は，(2)の考察から分割数は14となる．
また，いずれかの交線を含むとき，分割数は12となる．
(イ) 3本の異なる交線が互いに平行なとき．2本が平行なら他の1本も平行になる． この段階で7個に分割されている．ここに新たに1枚の平面を加える． すべての領域を2分して14個となるか，または交線に平行に置いた場合は11個になる．
(ウ) 3枚の平面が1直線を共有するとき，空間は6個に分割されている． ここに新たに1枚の平面を加える．最大12個に分割されるが，13個になり得ない．
(エ) 3枚の平面のうち2枚が平行．他は平行でないとき，その最大分割は12個である．
(オ) 3枚の平面がすべて平行なとき，空間は4つに分される． 新たに1面を加えて，分割数の最大は8である．
$ n=3 $ のとき．3平面が1直線を共有するとき，分割数は6である． $ b_3=8 $ なので， これが個数が2番目に大きい分割数である．
よって， $ n $ 枚の平面のとき，2番目に大きい分割数は \[ \left\{ \begin{array}{ll} 6&(n=3)\\ 12&(n=4)\\ \dfrac{n^3+5n-6}{6}&(n\geqq 5) \end{array} \right. \] である．