2020年入試問題研究に戻る阪大第2問
1個のさいころを， $ n $ 回投げて， $ k $ 回目に出た目が1の場合は $ X_k=1 $ ， 出た目が2の場合は $ X_k=-1 $ ，その他の目が出た場合は $ X_k=0 $ とする． \[ Y_k=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}X_k \right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}X_k \right) \] とおき， $ Y_1 $ から $ Y_n $ までの積 $ Y_1Y_2Y_3\cdots Y_n $ を $ Z_n $ で表す，ただし， $ i $ は虚数単位とする．
以下の間いに答えよ．(1) $ Z_2 $ が実数でない確率を求めよ．
(2) $ Z_1,\ Z_2,\ Z_3,\ \cdots,\ Z_n $ がいずれも実数でない確率を求めよ．
(3) $ Z_n $ が実数となる確率を $ p_n $ とする． $ p_n $ を $ n $ を用いて表し， 極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n $ を求めよ．