2020年入試問題研究に戻る阪大第2問解答
(1) ド・モアブルの定理より， \[ Z_n=\cos\left\{\dfrac{\pi}{3}\left(\sum_{k=1}^nX_k \right) \right\}+i\sin\left\{\dfrac{\pi}{3}\left(\sum_{k=1}^nX_k \right) \right\} \] となる． したがって， $ Z_n $ が実数となる必要十分条件は $ \displaystyle \sum_{k=1}^nX_k $ が3の倍数となることである．
$ Z_2 $ が実数となるのは， \[ \left(X_1,\ X_2 \right)=(1,\ -1),\ (-1,\ 1),\ (0,\ 0) \] のときである．その確率は， \[ 2\left(\dfrac{1}{6} \right)^2+\left(\dfrac{4}{6} \right)^2=\dfrac{1}{2} \] である．よって， $ Z_2 $ が実数でない確率は $ \dfrac{1}{2} $ である．(2) $ \displaystyle \sum_{k=1}^nX_k $ が3の倍数でないとき， $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}X_k $ が3の倍数でないのは， $ X_{n+1}=0 $ ，または $ \displaystyle \sum_{k=1}^nX_k\equiv \pm 1\ (\bmod \ 3) $ に対して $ X_{n+1}\equiv \pm 1\ (\bmod \ 3) $ (複号同順)のときである．
したがって， $ Z_1,\ Z_2,\ Z_3,\ \cdots,\ Z_n $ がいずれも実数でない確率を $ r_n $ とすると， \[ r_{n+1}=\left(\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} \right)r_n=\dfrac{5}{6}r_n \] が成り立つ． $ r_1=\dfrac{2}{6} $ なので， $ r_n=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{6} \right)^{n-1} $ である．(3) $ Z_n $ が実数のとき $ Z_{n+1} $ が実数となるのは $ X_{n+1}=0 $ のときであり， $ Z_n $ が実数でないとき $ Z_{n+1} $ が実数となるのは，(2)と同様に考え， それぞれに応じて $ X_{n+1}=1 $ または $ X_{n+1}=-1 $ のときである．
よって，数列 $ \{p_n\} $ は漸化式 \[ p_{n+1}=\dfrac{4}{6}p_n+\dfrac{1}{6}\left(1-p_n \right)=\dfrac{1}{2}p_n+\dfrac{1}{6} \] を満たす．これから， \[ p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\left(p_n-\dfrac{1}{3}\right) \] となり， $ p_1=\dfrac{2}{3} $ なので， \[ p_n-\dfrac{1}{3}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\left(p_1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \] である．よって， \[ p_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \] であり， \[ \lim_{n \to \infty}p_n=\dfrac{1}{3} \] となる．