2020年入試問題研究に戻る大阪市大後期工学部4番
$ p >1 $ ， $ q >1 $ ， $ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 $ とする．次の問いに笞えよ．ただし， $ r >0 $ に対して $ 0^r=0 $ とする．
問1 $ s >0 $ のとき，曲線 $ y=x^{p-1} $ と $ x $ 軸および直線 $ x=s $ で囲まれた図形の面積を $ s $ と $ p $ を用いて表せ．
問2 $ \ t >0 $ のとき，曲線 $ y=x^{p-1} $ と $ y $ 軸および直線 $ y=t\ $ で囲まれた図形の面積を $ \ t $ と $ q $ を用いて表せ．
問3 $ s\geqq 0 $ ， $ t\geqq 0 $ に対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ． \[ st\leqq \dfrac{s^p}{p}+\dfrac{t^q}{q} \] 問4 $ f(x) $ ， $ g(x) $ を $ a\leqq x \leqq b $ において連続な関数とし， \[ \int_a^b\left|f(x) \right|^p\,dx= \int_a^b\left|g(x) \right|^q\,dx=1 \] をみたすとする．このとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ． \[ \int_a^b\left|f(x)g(x) \right|\,dx\leqq 1 \]