大阪市大後期工学部4番解答
問1 $ y=x^{p-1} $ において，求める面積は \[ \int_0^sy\,dx=\int_0^sx^{p-1}\,dx=\biggl[\dfrac{1}{p}x^p\biggr]_0^s=\dfrac{s^p}{p} \] である．
問2 同様に考え， $ y=x^{p-1} $ において， $ \dfrac{dy}{dx}=(p-1)x^{p-2} $ であるから， $ t=u^{p-1}\ u >0 $ とおくと，求める面積は \begin{eqnarray*} \int_0^tx\,dy &=&\int_0^ux(p-1)x^{p-2}\,dx=(p-1)\int_0^ux^{p-1}\,dx\\ &=&\biggl[\dfrac{p-1}{p}x^p\biggr]_0^u=\dfrac{(p-1)u^p}{p} \end{eqnarray*} ここで， $ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 $ なので， $ p=\dfrac{q}{q-1} $ ， $ p-1=\dfrac{1}{q-1} $ ， $ \dfrac{p}{p-1}=q $ であり， $ u=t^{\frac{1}{p-1}} $ であるから， \[ \dfrac{(p-1)u^p}{p}=\dfrac{\dfrac{1}{q-1}\cdot t^{\frac{p}{p-1}} }{\dfrac{q}{q-1}} =\dfrac{t^q}{q} \] となる．
問3 下の図1のように， \[ s^{p-1}< t,\ \quad または\ s^{p-1} >t \] に応じて，(1)，(2)の2つの領域の面積の和である $ \dfrac{s^p}{p}+\dfrac{t^q}{q} $ は， 4点 $ (0,\ 0) $ ， $ (s,\ 0) $ ， $ (0,\ t) $ ， $ (s,\ t) $ を頂点とする長方形の面積 $ st $ より大きい． $ s^{p-1}=t $ のとき等号が成立する．よって， \[ st\leqq \dfrac{s^p}{p}+\dfrac{t^q}{q} \] が成り立つ．
※ 別方法．この不等式はヤングの不等式といわれる．
次のように関数 $ \log x $ のグラフが上に凸であることを用いる証明が用いられる．
関数 $ f(x)=\log x $ は $ f''(x)=-x^{-2}< 0 $ であるから上に凸である．
$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 $ なので，
上の図2のように，
$ (s^p,0) $ と $ (t^q,0) $ の $ \dfrac{1}{q}:\dfrac{1}{p} $ の内分点を考えることにより，
\[
\dfrac{1}{p}\log s^p+\dfrac{1}{q}\log t^q \leqq \log\left(\dfrac{1}{p}s^p+\dfrac{1}{q}t^q \right)
\]
が成り立つ．
これから
\[
\log st\leqq \log\left(\dfrac{1}{p}s^p+\dfrac{1}{q}t^q \right)
\]
つまり，
\[
st\leqq \dfrac{s^p}{p}+\dfrac{t^q}{q}
\]
が成り立つ．
これについては，『数学対話』の中の「凸関数と不等式」にある
「ヘルダーの不等式とコーシー・シュワルツの不等式」を参照されたい．
URL: http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/totu/node4.html
問4
問3から
\[
\left|f(x)g(x) \right|=\left|f(x)\right|\cdot \left|g(x) \right|
\le \dfrac{\left|f(x)\right|^p}{p}+\dfrac{\left|g(x) \right|^q}{q}
\]
が成り立つ．よって，
\begin{eqnarray*}
\int_a^b\left|f(x)g(x) \right|\,dx&\leqq &
\int_a^b\left\{\dfrac{\left|f(x)\right|^p}{p}+\dfrac{\left|g(x) \right|^q}{q} \right\}\,dx\\
&=&\dfrac{1}{p}\int_a^b\left|f(x)\right|^p\,dx+\dfrac{1}{q}\int_a^b\left|g(x) \right|^q\,dx\\
&=&\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1
\end{eqnarray*}
である．
関連問題：2011津田塾大