2020年入試問題研究に戻る京大理系4番解答
$ m\equiv 0,\ 1,\ 2\quad (\bmod \ 3) $ のそれぞれに対して， \[ m^3\equiv 0,\ 1,\ 2\quad (\bmod \ 3) \] であり， $ n\equiv 1,\ 2\quad (\bmod \ 3) $ のそれぞれに対して， \[ n^2+n\equiv 2,\ 0\quad (\bmod \ 3) \] である． 従って， $ A(m,\ n)\geqq 1 $ となるためには， $ m\equiv 1,\ n\equiv 1\quad (\bmod \ 3) $ または， $ m\equiv 0,\ n\equiv 2\quad (\bmod \ 3) $ が必要である． $ m\equiv 1,\ n\equiv 1\quad (\bmod \ 3) $ のとき， $ m=3k+1 $ ， $ n=3l+1 $ と置くと， \[ f(m,\ n)=27k^3+27k^2+9k+9l^2+9l+6 \] となる． $ k $ と $ l $ に寄らずこれは $ 3 $ の倍数であるが， $ 3^2 $ の倍数ではない．つまり \[ A(3k+1,\ 3l+1)=1 \] である． $ m\equiv 0,\ n\equiv 2\quad (\bmod \ 3) $ のとき， $ m=3k $ ， $ n=3l+2 $ と置くと， \[ f(m,\ n)=27k^3+9l^2+15l+9 \] となる． \[ A(3k,\ 3l+2)\geqq 2 \] となるためには $ l $ が3の倍数，条件(ii)より $ l=3,\ 6,\ 9 $ が必要である．それぞれ $ n=11,\ 20,\ 29 $ である． \[ \begin{array}{l} A(3k,\ 11)=27k^3+27\cdot 5=27(k^3+5)\\ A(3k,\ 20)=27k^3+423=27k^3+9\cdot 47\\ A(3k,\ 29)=27k^3+873=27k^3+9\cdot 97 \end{array} \] \[ A(3k,\ 3l+2)\ge 4 \] となりうるのは $ n=11 $ で $ k^3+5 $ が3の倍数のときである． これは $ k\equiv 1\quad (\bmod \ 3) $ のとき， つまり $ k=1,\ 4,\ 7,\ 10 $ のときである． このとき， \[ k^3+5=6,\ 69,\ 348,\ 1005 \] となり，いずれも3の倍数であるが9の倍数ではない． よって， $ A(m,\ n) $ の最大値は4，それを与えるような $ (m,\ n) $ は \[ (m,\ n)=(3,\ 11),\ (12,\ 11),\ (21,\ 11),\ (30,\ 11) \] である．