2020年入試問題研究に戻る京大特色1番
$ 0\leqq x< 1 $ の範囲で定義された連続関数 $ f(x) $ は $ f(0)=0 $ であり， $ 0< x< 1 $ において何回でも微分可能で次を満たすとする． \[ f(x) >0,\ \quad \sin\left(\sqrt{f(x)} \right)=x \] この関数 $ f(x) $ に対して， $ 0< x< 1 $ で連続な関数 $ f_n(x),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ を以下のように定義する． \[ f_n(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}f(x) \] 以下の設問に答えよ．
(1) 関数 $ -xf'(x)+(1-x^2)f''(x) $ は $ 0< x< 1 $ において $ x $ によらない定数値をとることを示せ．
(2) $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots $ に対して，極限 $ \displaystyle a_n=\lim_{x \to +0}f_n(x) $ を求めよ．
(3) 極限 $ \displaystyle \lim_{N \to \infty}\left(\sum_{n=1}^N\dfrac{a_n}{n!2^{\frac{n}{2}}} \right) $ は存在することが知られている．この事実を認めた上で，その極限値を小数第1位まで確定せよ．