2020年入試問題研究に戻る特色入試総人理系2番
問1 $ T_0(x)=1 $ ， $ T_1(x)=x $ として漸化式 \[ T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x) \] で多項式 $ T_1(x) $ ， $ T_2(x),\ \cdots,\ T_n(x),\ \cdots $ を定めると，任意の自然数 $ n $ と実数 $ \theta $ に対して \[ T_n(\cos\theta)=\cos n\theta \] となることを示せ．
問2 任意の自然数 $ n $ と実数 $ \theta $ に対して \begin{eqnarray*} &&\cos(\theta)\cos\left(\theta+\dfrac{1}{n}2\pi \right)\cos\left(\theta+\dfrac{2}{n}2\pi \right) \cdots\cos\left(\theta+\dfrac{n-1}{n}2\pi \right)\\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{(-1)^{\frac{n}{2}}-\cos(n\theta)}{2^{n-1}}&(n:偶数)\\ \dfrac{\cos(n\theta)}{2^{n-1}}&(n:奇数) \end{array} \right. \end{eqnarray*} となることを示せ．