2020年入試問題研究に戻る九大後期5番
以下の規則にしたがって数直線上を移動する点 $ \mathrm{A} $ を考える．
(規則) 点 $ \mathrm{A} $ が座標 $ x $ にあるとき，表が出る確率が $ \alpha\ (0<\alpha<1) $ のコインを投げて， 表が出たら $ x $ から $ \dfrac{x}{2} $ へ移動し，裏が出たら $ x $ から $ 1-\dfrac{x}{2} $ へ移動する．点 $ \mathrm{A} $ がはじめに座標0にあるとして， 事象「上記の規則を適用する操作を $ n $ 回 $ (n \geqq 1) $ 繰り返した直後に点 $ \mathrm{A} $ が座標 $ y $ にある」の確率を記号 $ P_n(y) $ で表す．このとき以下の問いに答えよ．(1) $ P_1(y)>0 $ となる $ y\ (0\leqq y \leqq 1) $ とその確率 $ P_1(y) $ の組をすべて答えよ．
(2) $ y< 0 $ または $ y >1 $ のとき， $ P_n(y)=0 $ であることを示せ．
(3) $ P_n(1) $ を求めよ．
(4) $ k $ を自然数とするとき，以下のそれぞれの条件で $ P_n(2^{-k}) $ を求めよ．
$①$ $ n\leqq k $ のとき．
$②$ $ n>k $ のとき．