2020年入試問題研究に戻る九大後期5番解答
(1) 点$\mathrm{A}$は，はじめに座標0にあるので， 1回の試行で表が出れば$y=\dfrac{0}{2}=0$， 裏が出れば$y=1-\dfrac{0}{2}=1$である．よって， \[ \left(y,\ P_1(y) \right)=(0,\ \alpha),\ (1,\ 1-\alpha) \] である．
(2) 点$\mathrm{A}(y)$が区間$[0,\ 1]$にあるとき， $\dfrac{y}{2}$，$1-\dfrac{y}{2}$はともに区間$[0,\ 1]$にある． 点$\mathrm{A}$は，はじめに区間$[0,\ 1]$にあるので， 試行を繰り返しても区間$[0,\ 1]$にある．
よって，$y<0$または$y>1$のとき，$P_n(y)=0$である．(3) 点$\mathrm{A}(y)$が区間$[0,\ 1]$にあるとき， 次の試行で1となるのは，$y=0$で裏が出るときにかぎる． また，0となるのは，$y=0$で表が出るときにかぎる．
したがって，$n$回の試行の後で$y=1$となるのは， $n-1$回までの試行で0に留まり，$n$回目の試行で1となるときにかぎる． よって， \[ P_n(1)=\alpha^{n-1}(1-\alpha) \] である．(4) $y=2^{-k}$となるのは， 表が$h$回続き，裏が1回出て，次の試行では表でも裏でも$\dfrac{1}{2}$に移動し， そして表が$k-1$回出るときにかぎる．そして $n=h+1+1+k-1$である．
① これより$n$回の試行が可能なために$n>k$が必要なので，$n\leqq k$のときは$P_n(2^{-k})=0$である．\[ P_n(2^{-k})=\alpha^{n-k-1}(1-\alpha)\cdot 1\cdot \alpha^{k-1}=\alpha^{k-2}(1-\alpha) \] である．
② $n>k$のとき．$h=n-k-1$なので