2020年入試問題研究に戻る名大理系3番
以下の問に答えよ。
(1) 関数 $ f(x) $ は，区間 $ 0\leqq x\leqq 2\pi $ で第2次導関数 $ f''(x) $ をもち $ f''(x) >0 $ をみたしているとする。 区間 $ 0\leqq x\leqq \pi $ で関数 $ F(x) $ を \[ F(x)=f(x)-f(\pi-x)-f(\pi+x)+f(2\pi-x) \] と定義するとき，区間 $ 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} $ で $ F(x)\geqq 0 $ であることを示せ。
(2) $ f(x) $ を(1)の関数とするとき \[ \int_0^{2\pi}f(x)\cos x \,dx\geqq 0 \] を示せ。
(3) 関数 $ g(x) $ は．区間 $ 0\leqq x\leqq 2\pi $ で導関数 $ g'(x) $ をもち $ g'(x)<0 $ をみたしているとする。このとき， \[ \int_0^{2\pi}g(x)\sin x \,dx\geqq 0 \] を示せ。