2020年入試問題研究に戻る名大理系3番解答
(1) $ 0 < x < \dfrac{\pi}{2} $ のとき， \[ x< \pi-x< \pi+x< 2\pi-x \] である．平均値の定理から \[ \begin{array}{ll} \dfrac{f(\pi-x)-f(x)}{\pi-x-x}=f'(c_1)& x< c_1< \pi-x\\ \dfrac{f(2\pi-x)-f(\pi+x)}{2\pi-x-(\pi+x)}=f'(c_2)& \pi+x< c_2< 2\pi-x \end{array} \] となる $ c_1 $ ， $ c_2 $ が存在する． $ f''(x) >0 $ で， $ c_1< c_2 $ より， $ f'(c_1)< f'(c_2) $ である． これより， \[ \dfrac{f(\pi-x)-f(x)}{\pi-x-x}< \dfrac{f(2\pi-x)-f(\pi+x)}{2\pi-x-(\pi+x)} \] つまり， \[ f(\pi-x)-f(x)< f(2\pi-x)-f(\pi+x) \] すなわち， \[ F(x)=f(x)-f(\pi-x)-f(\pi+x)+f(2\pi-x) >0 \] $ f'(x) $ が存在するので， $ f(x) $ は連続である．よって $ 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} $ のとき， \[ F(x)=f(x)-f(\pi-x)-f(\pi+x)+f(2\pi-x)\geqq 0 \] である．
(2) 定積分 \begin{eqnarray*} &&\int_0^{2\pi}f(x)\cos x \,dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cos x \,dx +\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(x)\cos x \,dx +\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}f(x)\cos x \,dx +\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}f(x)\cos x \,dx \end{eqnarray*} において，第2，第3，第4の定積分をそれぞれ， \[ x=\pi-t,\ x=\pi+t,\ x=2\pi-t \] で置きかえることにより， \begin{eqnarray*} &&\int_0^{2\pi}f(x)\cos x \,dx\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cos x \,dx +\int_{\frac{\pi}{2}}^0f(\pi-t)\cos (\pi-t) \,(-dt)\\ &&\quad \quad +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\pi+t)\cos (\pi+t) \,dt +\int_{\frac{\pi}{2}}^0f(2\pi-t)\cos(2\pi-t) \,(-dt)\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cos x \,dx -\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\pi-t)\cos t \,dt\\ &&\quad \quad -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\pi+t)\cos t \,dt +\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(2\pi-t)\cos t\,dt\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}F(x)\cos x\,dx \end{eqnarray*} $ 0 < x < \dfrac{\pi}{2} $ のとき， $ F(x)\geqq 0 $ ， $ \cos x\geqq 0 $ より， \[ \int_0^{2\pi}f(x)\cos x \,dx\geqq 0 \] である．
(3) \begin{eqnarray*} &&\int_0^{2\pi}g(x)\sin x \,dx\\ &=&\int_0^{\pi}g(x)\sin x \,dx+\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\sin x \,dx\\ &=&\int_0^{\pi}g(x)\sin x \,dx+\int_{0}^{\pi}g(x+\pi)\sin (x+\pi) \,dx\\ &=&\int_0^{\pi}\{g(x)-g(x+\pi)\}\sin x \,dx \end{eqnarray*} $ g'(x)< 0 $ なので， $ g(x) $ は単調に減少する．よって， $ 0 < x < \pi $ で $ g(x)-g(x+\pi) >0 $ である．またこの区間で $ \sin x\geqq 0 $ である．よって， \[ \int_0^{2\pi}g(x)\sin x \,dx\geqq 0 \] が成り立つ．