2020年入試問題研究に戻る2020奈良医第5問解答
(1) $ 1< \dfrac{1}{\beta} $ であるから，条件(ii)より， $ x\ne 0 $ のとき， $ f\left(\dfrac{x}{\beta} \right) >\dfrac{1}{\beta}f(x) $ ．つまり $ \beta f\left(\dfrac{x}{\beta} \right) >f(x) $ ．ここに， $ x=\beta $ を代入することにより， $ \beta f(1)>f(\beta) $ となる．
(2) (1)から， \[ \lim_{\beta\to 0}\beta f(1)\geqq \lim_{\beta\to 0}f(\beta)\geqq 0 \] これよりはさみうちの原理によって， $ \displaystyle \lim_{\beta\to 0}f(\beta)=0 $ となる． $ f(x) $ は連続なので， $ f(0)=0 $ である．
(3) 条件(ii)を， $ \alpha=\dfrac{x}{y} >1 $ ， $ x $ を $ y $ に置きかえて用いることにより， \[ f\left(\dfrac{x}{y}y \right) >\dfrac{x}{y}f(y) >f(y) \] となり， $ x >y >0 $ に対し $ f(x) >f(y) $ が成り立つことが示された．