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2020奈良医後期第2問

$ \alpha $ は $ 0<\alpha<1 $ を満たす実数とする． $ \mathrm{O} $ は $ xy $ 平面の原点とし， $ xy $ 平面上の点 $ \mathrm{A}_0 $ ， $ \mathrm{B}_0 $ ， $ \mathrm{C}_0 $ が与えられたとき， 以下の漸化式により， $ \mathrm{A}_n $ ， $ \mathrm{B}_n $ ， $ \mathrm{C}_n\ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) $ を定める． \[ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OA}_{n+1}} =\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}+\alpha\overrightarrow{\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n}\\ \overrightarrow{\mathrm{OB}_{n+1}} =\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}+\alpha\overrightarrow{\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n}\\ \overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}} =\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}+\alpha\overrightarrow{\mathrm{C}_n\mathrm{A}_n} \end{array} \right. \]

(1)　 $ \mathrm{A}_0\left(\cos 0,\ \sin 0 \right) $ ， $ \mathrm{B}_0\left(\cos \dfrac{2\pi}{3},\ \sin \dfrac{2\pi}{3} \right) $ ， $ \mathrm{C}_0\left(\cos \dfrac{2\pi}{3},\ \sin \dfrac{4\pi}{3} \right) $ とする． 一般の0以上の整数 $ n $ に対して， $ \left|\overrightarrow{\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n}\right| $ ， $ \left|\overrightarrow{\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n}\right| $ ， $ \left|\overrightarrow{\mathrm{C}_n\mathrm{A}_n}\right| $ を $ n $ を用いて表せ． さらに. \[ S(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}\left|\overrightarrow{\mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}}\right| \] として， \[ \lim_{\alpha\to 0}S(\alpha) \] を求めよ．

(2)　 $ a_x,\ a_y $ ， $ b_x,\ b_y $ ， $ c_x,\ c_y $ を実数定数とし， $ \mathrm{A}_0(a_x,\ a_y) $ ， $ \mathrm{B}_0(b_x,\ b_y) $ ， $ \mathrm{C}_0(c_x,\ c_y) $ とする． 点Pの $ x $ 座標の値， $ y $ 座標の値をそれぞれ $ x_{\mathrm{P}} $ ， $ y_{\mathrm{P}} $ で表すことにする． 各 $ n\ge 0 $ に対して， $ r_n= \mathrm{Max}(x_{\mathrm{A}_n},\ x_{\mathrm{B}_n},\ x_{\mathrm{C}_n})- \mathrm{Min}(x_{\mathrm{A}_n},\ x_{\mathrm{B}_n},\ x_{\mathrm{C}_n}) $ とおく．（ただし，Max，Min はそれぞれ，最大値，最小値を表す．）
もし，ある $ n $ について，不等式 \[ x_{\mathrm{A}_n}\leqq x_{\mathrm{B}_n}\leqq x_{\mathrm{C}_n} \] が満たされると仮定する．このとき，不等式 $ r_{n+1}\le r_n\mathrm{Max}(\alpha,\ 1-\alpha) $ が成り立つことを証明せよ.

(3)　 (2)において， \[ \lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{A}_n}= \lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{B}_n}= \lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{C}_n},\ \quad \lim_{n \to \infty}y_{\mathrm{A}_n}= \lim_{n \to \infty}y_{\mathrm{B}_n}= \lim_{n \to \infty}y_{\mathrm{C}_n} \] となることを証明し，これらの極限値を求めよ．

解答