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2020奈良医後期第2問解答

(1)　 $ \bigtriangleup \mathrm{A_0B_0C_0} $ は正三角形で， \[ \mathrm{A_0B_0}^2=\left(1+\dfrac{1}{2} \right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=3 =\mathrm{B_0C_0}^2=\mathrm{C_0A_0}^2 \] であるから， $ \bigtriangleup \mathrm{A_0B_0C_0} $ の1辺は $ \sqrt{3} $ となる． よって， $ \mathrm{A_0A_1}=\sqrt{3}\alpha $ ， $ \mathrm{A_0C_1}=\sqrt{3}(1-\alpha) $ となるので，余弦定理から \begin{eqnarray*} \mathrm{C_1A_1}^2 &=&3\alpha^2+3(1-\alpha)^2-2\cdot3\alpha(1-\alpha)\cos\dfrac{\pi}{3}\\ &=&3\alpha^2+3(1-\alpha)^2-3\alpha(1-\alpha)\\ &=&3(3\alpha^2-3\alpha+1)\\ &=&\mathrm{C_0A_0}^2(3\alpha^2-3\alpha+1) \end{eqnarray*} ここで $ 0< \alpha< 1 $ より， \[ 0< \alpha(1-\alpha)=-\left(\alpha-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{1}{4}< \dfrac{1}{4} \] したがって， \[ \dfrac{1}{4}< 3\alpha^2-3\alpha+1=1-3\alpha(1-\alpha)< 1 \] である．そして， \[ \left|\overrightarrow{\mathrm{C_1A_1}}\right|= \sqrt{3\alpha^2-3\alpha+1}\left|\overrightarrow{\mathrm{C_0A_0}}\right| \] であり，同様に \[ \left|\overrightarrow{\mathrm{C_{n+1}A_{n+1}}}\right|=\sqrt{3\alpha^2-3\alpha+1} \left|\overrightarrow{\mathrm{C_nA_n}}\right| \] となる．よって， \begin{eqnarray*} \left|\overrightarrow{\mathrm{C_nA_n}}\right|&=&\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{n}{2}} \left|\overrightarrow{\mathrm{C_0A_0}}\right|\\ &=&\sqrt{3}\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{n}{2}}\\ &=&\left|\overrightarrow{\mathrm{A_nB_n}}\right|= \left|\overrightarrow{\mathrm{B_nC_n}}\right| \end{eqnarray*} となる．同様に \[ \left|\overrightarrow{\mathrm{A_nA_{n+1}}}\right|=\sqrt{3\alpha^2-3\alpha+1} \left|\overrightarrow{\mathrm{A_{n-1}A_n}}\right| \] なので， \begin{eqnarray*} \left|\overrightarrow{\mathrm{A_nA_{n+1}}}\right|&=&\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{n}{2}} \left|\overrightarrow{\mathrm{A_0A_1}}\right|\\ &=&\sqrt{3}\alpha\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*} したがって， \begin{eqnarray*} S(\alpha)&=&\dfrac{\sqrt{3}\alpha}{1-\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{1}{2}}}\\ &=&\dfrac{\sqrt{3}\alpha\left\{1+\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{1}{2}} \right\}}{1-\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)} =\dfrac{\sqrt{3}\alpha\left\{1+\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{1}{2}} \right\}}{-3\alpha(\alpha-1)}\\ &=&\dfrac{1+\left(3\alpha^2-3\alpha+1 \right)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{3}(1-\alpha)} \end{eqnarray*} なので， \[ \lim_{\alpha\to 0}S(\alpha)=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \] である．

(2)　 $ x_{\mathrm{A}_n}\leqq x_{\mathrm{B}_n}\leqq x_{\mathrm{C}_n} $ のとき， $ r_n=x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{A}_n} $ である．定義から \[ \begin{array}{l} x_{\mathrm{A}_{n+1}}=(1-\alpha)x_{\mathrm{A}_n}+\alpha x_{\mathrm{B}_n}\\ x_{\mathrm{B}_{n+1}}=(1-\alpha)x_{\mathrm{B}_n}+\alpha x_{\mathrm{C}_n}\\ x_{\mathrm{C}_{n+1}}=(1-\alpha)x_{\mathrm{C}_n}+\alpha x_{\mathrm{A}_n} \end{array} \] である．そして， \[ \begin{array}{l} x_{\mathrm{C}_{n+1}}-x_{\mathrm{B}_{n+1}}=(1-\alpha)\left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{B}_n}\right) +\alpha \left(x_{\mathrm{A}_n}-x_{\mathrm{C}_n}\right)\\ x_{\mathrm{B}_{n+1}}-x_{\mathrm{A}_{n+1}}=(1-\alpha)\left(x_{\mathrm{B}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right) +\alpha \left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{B}_n}\right)\\ x_{\mathrm{A}_{n+1}}-x_{\mathrm{C}_{n+1}}=(1-\alpha)\left(x_{\mathrm{A}_n}-x_{\mathrm{C}_n}\right) +\alpha \left(x_{\mathrm{B}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right) \end{array} \] なので， \[ \begin{array}{l} ｰ\alpha\left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right)< x_{\mathrm{C}_{n+1}}-x_{\mathrm{B}_{n+1}}< (1-\alpha)\left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{B}_n}\right)\\ 0< x_{\mathrm{B}_{n+1}}-x_{\mathrm{A}_{n+1}}\\ < \left\{ \begin{array}{ll} (1-\alpha)\left(x_{\mathrm{B}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right) +(1-\alpha) \left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{B}_n}\right) =(1-\alpha)(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{A}_n})&(\alpha< 1-\alpha)\\ \alpha\left(x_{\mathrm{B}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right) +\alpha\left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{B}_n}\right) =\alpha(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{A}_n})&(1-\alpha\leqq \alpha) \end{array} \right.\\ -(1-\alpha)\left(x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right)< x_{\mathrm{A}_{n+1}}-x_{\mathrm{C}_{n+1}}< \alpha\left(x_{\mathrm{B}_n}-x_{\mathrm{A}_n}\right) \end{array} \] より， $ x_{\mathrm{C}_n}-x_{\mathrm{A}_n} $ などがすべて $ \pm r_n\mathrm{Max}(\alpha,\ 1-\alpha) $ の間にあるので， \[ r_{n+1}\leqq r_n\mathrm{Max}(\alpha,\ 1-\alpha) \] が成立する．

(3)　(2)から， \[ r_n\leqq r_0\left\{\mathrm{Max}(\alpha,\ 1-\alpha)\right\}^n \] なので， \[ \lim_{n \to \infty}r_n=0 \] つまり， \[ \lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{A}_n}= \lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{B}_n}= \lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{C}_n} \] である． $ y $ 座標についても同様に \[ \lim_{n \to \infty}y_{\mathrm{A}_n}= \lim_{n \to \infty}y_{\mathrm{B}_n}= \lim_{n \to \infty}y_{\mathrm{C}_n} \] である． 一方， $ n $ によらず， \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}_{n+1}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}_{n+1}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}= \overrightarrow{\mathrm{OA}_n}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}_n}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}_n} \] であるから，すべての $ n $ に対して \[ x_{\mathrm{A}_n}+x_{\mathrm{B}_n}+x_{\mathrm{C}_n}=a_x+b_x+c_x \] となる． $ y $ 座標についても同様である．
したがって， \[ 3\lim_{n \to \infty}x_{\mathrm{A}_n}=a_x+b_x+c_x \] 等が成り立ち，これらの極限値はそれぞれ \[ \dfrac{1}{3}\left(a_x+b_x+c_x\right),\ \quad \dfrac{1}{3}\left(a_y+b_y+c_y\right) \] である．

※　(1)で $ \bigtriangleup \mathrm{A_0B_0C_0} $ は正三角形で，このとき $ \bigtriangleup \mathrm{A_nB_nC_n} $ は その中心である原点に収束する． では一般の三角形の場合， $ \bigtriangleup \mathrm{A_nB_nC_n} $ は $ \bigtriangleup \mathrm{A_0B_0C_0} $ のどの点に収束するのか． これが一般化された(2)で考えるべきことである． それは $ \bigtriangleup \mathrm{A_0B_0C_0} $ の重心であることが示された．

問題