滋賀医大第2問解答
(1) 点 $ \mathrm{A} $ が $ \mathrm{A}(\pm a,\ \pm b) $ の4点のときは，点 $ \mathrm{A} $ から $ E $ に引いた2本の接線は $ x $ 軸と $ y $ 軸に平行なので，直交している．
これら4点でないとき，点 $ \mathrm{A} $ の座標を $ (\alpha,\ \beta) $ とする．
$ \alpha^2+\beta^2=a^2+b^2 $ を満たす．点 $ \mathrm{A} $ を通る直線を $ y=m(x-\alpha)+\beta $ とおく．
これが $ E $ と接する．よって， $ y $ を消去して
\[
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\{m(x-\alpha)+\beta\}^2}{b^2}=1
\]
が $ x $ の2次方程式として重解をもつ．これを整理して，
\[
(m^2a^2+b^2)x^2-2ma^2(m\alpha-\beta)x+a^2(m\alpha-\beta)^2-a^2b^2=0
\]
この判別式を $ D $ とする．
\begin{eqnarray*}
D/4&=&m^2a^4(m\alpha-\beta)^2-a^2(m^2a^2+b^2)\{(m\alpha-\beta)^2-b^2\}\\
&=&a^4b^2m^2-a^2b^2\{(m\alpha-\beta)^2-b^2\}=0
\end{eqnarray*}
これより，
\[
a^2m^2-\{(m\alpha-\beta)^2-b^2\}=(a^2-\alpha^2)m^2+2\alpha\beta m+b^2-\beta^2=0
\]
これは $ m $ の2次方程式である．
$ C $ 上の点 $ \mathrm{A} $ から $ E $ に引いた2本の接線の傾きを $ m_1,\ m_2 $ とすると，
$ m_1,\ m_2 $ はこの2次方程式の2解である．
解と係数の関係から
\[
m_1m_2=\dfrac{b^2-\beta^2}{a^2-\alpha^2}=-1
\]
なので，2本の接線は直交する．
※ 円 $ C $ を楕円 $ E $ の準円という．
(2) 角 $ \mathrm{A} $ は直角なので， $ \mathrm{PQ} $ は円 $ C $ の中心 $ \mathrm{O} $ を通る． $ \mathrm{O} $ から $ \mathrm{AP} $ ， $ \mathrm{AQ} $ への垂線を $ \mathrm{OH} $ ， $ \mathrm{OK} $ とする．
$ \mathrm{H} $ ， $ \mathrm{K} $ はそれぞれ $ \mathrm{AP} $ ， $ \mathrm{AQ} $ の中点となるので，
三角形 $ \mathrm{APQ} $ の面積 $ S $ は
\[
S=\dfrac{1}{2}\mathrm{AP}\cdot\mathrm{AQ}=2\mathrm{OH}\cdot\mathrm{OK}
\]
点と直線の距離の式から
\[
\mathrm{OH}=\dfrac{|m_1\alpha-\beta|}{\sqrt{{m_1}^2+(-1)^2}}
\]
$ \mathrm{OK} $ も同様である．
よって，
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{S}{2} \right)^2&=&\dfrac{(m_1\alpha-\beta)^2(m_2\alpha-\beta)^2}{({m_1}^2+1)({m_2}^2+1)}
=\dfrac{a^2b^2({m_1}^2+{m_2}^2)+a^4+b^4}{{m_1}^2+{m_2}^2+2}\\
&=&a^2b^2+\dfrac{-2a^2b^2+a^4+b^4}{{m_1}^2+{m_2}^2+2}
=a^2b^2+\dfrac{(a^2-b^2)^2}{{m_1}^2+{m_2}^2+2}
\end{eqnarray*}
\[
{m_1}^2+{m_2}^2\geqq 2\sqrt{{m_1}^2{m_2}^2}=2
\]
で，等号成立は $ {m_1}^2={m_2}^2 $ のときである．よって，
\[
0< \dfrac{1}{{m_1}^2+{m_2}^2+2}\leqq\dfrac{1}{4}
\]
である．したがって， $ \mathrm{A}=(\pm a,\ \pm b) $ の4点のときを含めると，
\[
a^2b^2\leqq \left(\dfrac{S}{2} \right)^2 \leqq a^2b^2+\dfrac{(a^2-b^2)^2}{4}=\dfrac{(a^2+b^2)^2}{4}
\]
つまり，
\[
2ab\leqq S\leqq a^2+b^2
\]
最小値は $ 2ab $ で，これは $ \mathrm{A} $ が $ (\pm a,\ \pm b) $ の4点のいずれかのとき．
最大値は $ a^2+b^2 $ で， $ {m_1}^2={m_2}^2 $ のときである．これは対称性から $ \mathrm{A} $ が
$ (\pm\sqrt{a^2+b^2},\ 0) $ ， $ (0,\ \pm\sqrt{a^2+b^2}) $ の4点のいずれかのときである．